非线性薛定谔方程解的无条件唯一性

The unconditional uniqueness of solution, the one of fundamental problem in equation research, is an important part of well-posed theory. The unconditional uniqueness for power-type nonlinear Schrodinger equation has been partially settled by many mathematicians using different methods for some cases. However, there is still open problem left. The applicant have done some research on this problem and obtained some results. Our conclusions not only cover most of the existing results, but also extend to some unsettled cases.. According to the characteristic of the Schrodinger equation itself, by using “the time regularity index of solution nearly half of space regularity index” idea, we release the select range of discussing spaces for uniqueness, by which we can choose more wider discussing spaces, then analysis and control the growth of nonlinearity, and finally, we show the unconditional uniqueness of solution hold.. The project would develop and complete the unconditional uniqueness and well-posed theory of nonlinear Schrodinger equation. And we hope our conclusions and methods could contribute to the unconditional uniqueness of other equations.

解的无条件唯一性是适定性理论的重要组成部分，是方程研究的基本问题之一。针对幂次型非线性薛定谔方程的无条件唯一性，很多学者采用不同的方法获得了不少结果，但是该问题仍未得到彻底的解决。申请者在前期工作中对此问题进行了一定的研究，所得结论不仅涵盖了已有的大部分成果，而且填补了部分空白。. 根据方程的自身特点，本课题拟采用“解的空间正则性指标近似于时间正则性指标二倍”的思路，降低对唯一性讨论空间的正则性指标的限制，从而可以选取更宽泛的讨论空间，然后分析和控制非线性项的增长，最终说明解的无条件唯一性的成立。. 本课题将发展和完善非线性薛定谔方程的无条件唯一性以及无条件适定性理论。为其他方程无条件唯一性以及适定性理论的发展提供参考。

在本项目中，我们原计划研究幂次型非线性Schrödinger方程解的无条件唯一性，但在研究过程中遇到现阶段无法解决的困难，因此，我们调整了研究内容。目前，我们研究了如下内容：①幂次型 临界非线性Schrödinger方程解的局部适定性问题；②非共振扰动下，线性Klein-Gordon方程（线性Schrödinger方程组）拟周期解的构造以及相应解的整体有界性问题；③半线性Klein-Gordon方程解的（几乎）整体存在性问题。. 对于问题①，我们得到了在高维情形 下，幂次型 临界非线性Schrödinger方程在齐次 空间中，特别是一般初值条件下方程解的局部存在性，以及解对初值的连续依赖性。这些结果打破了之前结论中关于小初值的限制条件，极大地丰富和完善了非线性Schrödinger方程解的适定性理论。. 对于问题②，我们证明了在一维球面上线性Klein-Gordon算子（线性Schrödinger算子）具有安德森局部化性质，进而利用该性质构造了原方程的拟周期解。由于线性方程的解具有唯一性，因此我们可以进一步说明解的范数可以被初值一致控制。关于二阶方程的安德森局部化性质，在量子领域特别是为激光在不同介质中的相互作用关系提供了重要的理论依据。. 最后，关于问题③，我们考虑了一维球面上半线性Klein-Gordon方程解的几乎整体存在性。我们利用法形式方法，说明当非线性项满足一定零条件结构时，相应的解满足几乎整体存在性。值得一提的是，我们所考虑的非线性项可以与时间导数有关，即非线性项将不满足哈密尔顿结构。针对这一点的结果目前比较稀少。