利用Ringel-Hall 代数实现和研究若干李代数的结构

It aims to realize some known non-Kac-Moody algebras or construct new Lie algebras via the representation theory of finite dimensional algebras. Moreover, basing on known relationships between Lie algebras and representation theory of finite dimensional algebras, we study structures of corresponding Lie algebras through equivariantizations and autoequivalences of categories. Main targets are as follows..(1) We will realize simply-laced elliptic Lie algebras or elliptic root systems of type Am, Dn (n>4) via the Ringel-Hall Lie algebras of root categories..(2) We will realize some BKL Lie algebras defined by unit quadratic forms of small corank via the representation theory of finite dimensional algebras. Furthermore， root systems and integral basis of the BKL Lie algebras will be obtained..(3) We will construct new Lie algebrs via Bridgeland-Hall algebras of 2-cyclic complexes of projective modules over non-hereditary algebras..(4) We will construct extensions of Kac-Moody algebras or four simply-laced elliptic Lie algebras via equivariantizations of root categories in the representation theory of finite dimensional algebras..(5)By autoequivalences of root categories, we will construct some special elements in the automorphism groups or Weyl groups of the corresponding Kac-Moody algebras or four simply-laced elliptic Lie algebras. Furthermore, the structures of these groups will be studied through the above special elements.

致力于利用有限维代数的表示理论中Ringel-Hall 代数来实现已有的非Kac-Mood代数或构造新的李代数，并在代数表示论与李代数之间的已有联系的基础上应用表示论中范畴的协变化和自等价来研究对应李代数的结构。主要目标有：(1)利用根范畴的Ringel-Hall李代数实现Am, Dn(n>4)型单边椭圆李代数或椭圆根系;(2)利用有限维代数的表示理论实现由小余秩的单位二次型定义的BKL李代数,并在此基础上给出BKL李代数的根系与整基；(3)用非遗传代数的2-循环投射复形的Bridgeland-Hall代数构造新李代数; (4)利用根范畴的协变化范畴构造Kac- Moody代数或四类单边型椭圆李代数的扩张; (5)利用根范畴的自等价,构造对应Kac-Moody代数或四类单边型椭圆李代数的自同构群或Weyl群中的一些特殊元，并通过这些元研究自同构群和Weyl群的结构。

实现了预定研究计划的部分内容，具体是：构造了一类bound 箭图代数的根范畴的Ringel-Hall 李代数与A型椭圆李代数之间的满同态；建立了一类Nakayama 代数的根范畴的Ringel-Hall 李代数与一类BKL李代数之间的满同态；利用二阶循环群在D型仿射遗传代数的根范畴上的协变化，构造了对应的仿射Kac-Moody 代数的扩张李代数；用有限维遗传代数的导出范畴的一个自等价诱导对应Kac- Moody 代数的不动点子代数，探讨这个子代数何时为Frattini子代数，并据此研究该Frattini子代数的自同构群与Kac-Moody代数的自同构群之间的关系；证明了管子代数的根范畴的一些mutation对合自同构可以诱导对应Kac-Moody代数的自同构，这些自同构可以构成一个子群，并据此给出其自同构群的一个陪集分解式。这些成果进一步沟通了代数表示论与李代数之间的联系，并利用这些联系研究了李代数的一些结构。另外，还在这些研究过程中挖掘出感兴趣的课题，在三角范畴、外三角范畴的性质和几类李代数的结构等方面取得了一些成果。在sci期刊上正式发表论文12篇，还有3篇文章在线发表，另外有7篇被投稿的论文在审稿中。