偏微分方程解的凸性及其在自由边值问题的应用

在偏微分方程的研究中，解的凸性长期以来备受众多著名数学家的关注。它不仅具有几何直观，而且在自由边界扩散方程等问题的存在性和正则性中往往也是起重要的作用。常秩定理是处理关于凸性问题的一个精妙理论，它对偏微分方程解的几何性质研究、及来源于微分几何的一些问题，如Christoffel-Minkowski等问题中的应用有着深刻意义。本研究项目主要想针对一类完全非线性的椭圆方程找到适当的结构条件，从而使得相应的解具有某种形式的凸性，特别是解的水平集的凸性。关键的一个思想是要建立关于刻画凸性的某种量（比如解的Hessian矩阵）的常秩定理。在凸性的应用上，我们通过对一类完全非线性算子的凸性研究，得到关于这类算子的统一的几何特征，这是一个十分有趣的现象。同时我们还可以证明关于算子第一特征值的 Brunn-Minkowski 不等式。最后，我们利用常秩定理来研究抛物自由边值问题的光滑性。

本项目基本完成预定目标，得到了以下几方面研究成果：1、刻画了一类完全非线性椭圆方程解的几何性质（某种凸性），并利用此性质证明了关于这类算子第一特征值泛函的Brunn-Minkowski不等式，尤其是得到了等号成立的情形；2、从拟线性椭圆方程到一般的完全非线性椭圆方程，我们首先给出刻画水平集凸性的几何量，然后分别改进条件和方法，得到了解的水平集的常秩定理。对于不满足条件的方程我们给出了一个反例。共计发表SCI论文（包括已接收文章）6篇，核心期刊1篇（均标注青年基金基金号）。