随机广义方程相对于概率分布的稳定性分析及应用

Generalized equations (GE) can be used to characterize variational inequality and complementarity systems, first order optimality conditions and Nash equilibrium problems. It has found extensive applications in a number of areas such as engineering, economics and is one of the most important areas in optimization. In practice, many decision making problems are often subject to uncertain factors. Consequently, the stochastic version of GE (SGE) is needed. However, there are inevitably some deviations when the true probability distributions of random variables are approximated through empirical data. The deviation of the distributions of random variables will affect the solution of the SGE. The aim of this project is to study the stability of the solution set of SGE in Euclidean spaces and Banach spaces with respect to the perturbation of probability distributions. Specially, we will study the metric regularity, H?lder continuity and Lipschitz continuity of the solution set of SGE with respect to variation of the probability distribution. A particular focus will be given to empirical probability approximation which is a popular approach in stochastic programming. Moreover, the established results of SGE are applied to stability analysis of stationary points and optimal solutions of optimization problems such as stochastic mathematical programs with equilibrium constraints and stochastic Nash equilibrium problems.

广义方程（GE）能够刻画变分不等式与互补系统、优化问题的一阶最优性条件、Nash均衡，在工程、经济等方面有着广泛的应用，是目前较为活跃的研究课题之一。由于很多实际问题会涉及随机因素，研究含有随机变量的GE（SGE）非常具有现实意义。另一方面，实际问题中随机变量的分布大多只能通过历史数据了解或估计，难免有偏差，而概率分布的变化势必会对SGE带来相应的影响。本项目拟分析SGE相对于随机变量的概率分布的稳定性。特别地，我们将研究欧式空间和Banach空间中SGE的解集相对于概率分布的度量正则性、H?lder连续性、Lipschitz连续性等。鉴于经验概率近似在随机优化中的广泛应用，我们将其作为特殊例子进行稳定性分析。此外，本项目还将利用SGE的稳定性理论分析随机均衡约束数学规划、随机Nash均衡等优化问题的稳定点以及最优解相对于概率分布的稳定性。

本项目主要对随机广义方程（SGE）相对于概率分布的稳定性进行了深入研究，在包括SIAM Journal on Optimization等优化领域顶级期刊上发表或即将发表SCI检索论4篇，研究成果受到了国内外同行的高度评价。主要研究成果包括：.(1) SGE的解集的稳定性理论。我们建立了随机集值映射关于概率分布的连续性定理，进而建立了SGE的解集的稳定性理论。在度量正则条件下，我们得到了SGE的解集映射的Aubin性质。同时，我们研究了由两个集值映射相加构成的参数化广义方程的解集的度量正则性，并利用所得理论分析了SGE的解集和参数化均衡约束数学规划问题的稳定点的稳定性。.(2) SGE稳定理论的应用。我们利用所建立的理论，研究了随机变分不等式的解；一阶段，两阶段随机优化、随机均衡约束数学规划（SMPEC）、随机二阶占优约束规划和随机多目标均衡约束数学规划（SMOPEC）等优化问题的最优解和稳定点关于概率分布的稳定性理论。在适当的条件下，我们证明了最优解映射关于概率分布是连续的，稳定点映射关于概率分布是外半连续的。针对SMOPEC，我们证明了经验概率分布近似原概率分布时，(Mordukhovich) M-稳定点在概率意义下的指数收敛性。.(3) SGE研究的拓展。我们提出了鲁棒均衡约束数学规划模型（RMPEC）。我们利用熵函数近似半无限约束，给出了求解RMPEC的算法, 并利用该近似方法结合多项式逼近思想给出了求解两阶段SMPEC的新算法。同时，我们还将模型拓展到了由 Kullback-Leibler divergence 定义鲁棒集合的分布鲁棒均衡约束数学规划问题。