矩不等式约束分布鲁棒优化的研究及应用

Distributionally robust optimization (DRO) which combines the conservatism of robust optimization and the estimability of stochastic optimization has become an increasingly popular paradigm for decision-making under uncertainty. A key step in DRO is to construct ambiguity set which contains the true probability distribution of the uncertainty with specified likelihood. Depending on the availability of information of the uncertainty, the ambiguity set may be constructed through empirical data, computer simulations or subjective judgment. In this project, we will focus on DROs where the ambiguity set is defined though inequality moment constraints. The main advantage of approach are two-fold: (a) the moments can be estimated by data effectively, (b) by setting the random functions for the moment constraints, it may provide a unified framework for a range of well-known DROs with moment cone constraints and moment norm constraints. We will investigate the conservatism, asymptotic convergence and statistical properties of the optimal value and optimal solution obtained from solving the DRO and validate them. To solve the DROs, we will explore weaker conditions necessitated for Lagrange dual formulation of DRO as a deterministic semi-infinite programming and semi-definite programming. We will develop various numerical methods including dicretization methods, cutting plane methods, regularization methods, penalization methods for the latter and investigate their tractability and stability. Finally we will apply the developed DRO model and numerical schemes to portfolio optimization and extend the research to distributionlly robust Nash equilibrium problems.

分布鲁棒优化（DRO）能够结合鲁棒优化的保守性和随机优化的可估计性，是不确定情况下决策理论中的一种重要模型。如何定义包含真实概率分布的鲁棒集合是DRO模型的一个关键问题。根据可获取的不确定因素的信息，鲁棒集合一般可以通过历史数据估计、计算机仿真、主观估计等方式定义。本项目将研究鲁棒集合由随机变量函数的矩不等式定义的DRO问题。这样定义鲁棒集合的好处是：其一，矩信息可被历史数据有效估计；其二，选择不同随机函数可以刻画多种由矩信息定义的鲁棒集合，例如：矩锥约束、矩范数约束。我们将研究DRO问题的最优解、最优值的保守性、渐近性和统计特性；研究DRO问题可利用对偶等方法等价转化成半无限规划、半定规划等的条件；利用离散方法、正则方法、切平面方法、罚函数方法等设计求解DRO问题的算法并研究算法的可行性、稳定性。最后，我们将利用建立的DRO模型及算法框架研究分布鲁棒投资组合模型和纳什均衡模型。

本项目对分布鲁棒集合由矩信息定义的分布鲁棒优化(DRO)问题进行了深入研究，在包括Mathematics of Operations Research、SIAM Journal on Optimization、SIAM Journal on Numerical Analysis等期刊上发表论文8篇，研究成果受到了国内外同行的高度评价。主要研究成果包括：..理论方面：针对对偶方法，给出了与广泛应用的Slater type条件互补的--下半连续性条件，新条件保证强对偶定理成立；建立了由一阶矩和二阶矩信息定义的分布鲁棒集合的统计特性，该结果为分布鲁棒集合的选取提供理论支持；建立了离散近似方法的基础理论、DRO问题的解和最优值的量化收敛性，上述结果为DRO问题提供了一种新的求解思路。..算法方面：提出了求解一类DRO问题的割平面法，并从原始问题和对偶问题两方面分析了算法的收敛性；利用原始对偶混合梯度方法（Primal–Dual Hybrid Gradient Algorithms，PDHG）设计了求解DRO问题的有效算法；利用随机混合梯度法设计了求解DRO的算法；利用部分误差界条件，证明了交替方向乘子法(ADMM)的线性收敛速率。..模型方面：提出了分布鲁棒Nash均衡模型；从随机优化的经典模型出发，提出了Here-and-Now和Wait-and-See两类Stackelberg均衡模型；提出了分布鲁棒Reward-risk-ratio模型。针对上述模型，设计了求解算法。