基于复合时间积分的结构动力学数值算法研究

Research on solutions for structural dynamics has been a basic and frontier issue in computational mechanics in the world, and the developing of stable, reliable, and high computational efficient numerical solution algorithms has been an urgent demand with the growing of application requirements, the increasing of structures complexity and the arising of nonlinearity. The present proposal focuses on the numerical solution algorithms for structural dynamics based on the composite time integration scheme, in which two or more time integration algorithms with different numerical properties are composited together to design new time integration algorithms with strengthen synthetical properties. Firstly, the choice of sub-step algorithms for the composite implicit time integration scheme will be extended to the linear multistep methods, and the controllable numerical dissipation will be introduced into the composite time integration scheme to increase the accuracy of solution when the stability and the computational efficiency are guaranteed. Secondly, the accuracy analysis method for the multi-sub-step composite time integration algorithms will be developed, and the rigorous accuracy analysis and parameters design for the proposed composite time integration scheme with controllable numerical dissipation will be performed. Finally, the numerical dissipation property of the composite time integration algorithm will be optimized by analyzing typical linear and nonlinear structural dynamics problems, and a numerical algorithm with excellent performance in accuracy, stability and efficiency will be obtained. The research not only can lay a theory foundation for the studying and developing of the composite time integration scheme, but also can provide an effective numerical solution approach for the structural dynamics problems.

结构动力学问题的求解方法研究是目前国际上计算力学领域的一个前沿基础课题，随着应用需求的增长、结构复杂性的增加以及非线性问题的凸显，发展稳定、可靠和高效的数值求解算法成为了迫切需求。本项目重点研究基于复合时间积分思想的结构动力学数值求解算法，通过复合两种或多种具有不同数值性能的时间积分算法，进而设计出综合性能增强的数值算法。首先，将复合隐式时间积分方案的子步算法范围扩展到线性多步法，并引入数值耗散可控性能，旨在保证求解的稳定性和计算效率的同时提高求解精度；然后，发展多子步复合时间积分算法的精度分析方法，并对数值耗散性能可控的复合时间积分方案进行严格的精度分析和参数设计；最后，结合典型线性和非线性结构动力学问题优化复合时间积分算法的数值耗散性能，建立一套求解精度、稳定性和计算效率综合性能优异的求解算法。本项目研究将为复合时间积分算法的发展奠定理论基础，也为结构动力学问题提供有效的数值求解方法。

直接时间积分方法是求解结构动力学问题的重要方法，而提高其数值性能则是时间积分算法研究长期所关注的重要问题。本项目基于复合时间积分思想意图发展高性能的结构动力学问题数值求解算法。其一，研究了隐式时间积分方法的复合方案，将复合积分思想中的子步算法扩展到了一般线性多步法，并考虑了算法复杂度、数据存储量、计算效率的影响，确定了数值耗散可控的线性两步时间积分方法与其等效单步法组合的方案。其二，对线性两步法及其等效单步法进行了严格的算法精度分析，并完善了传统精度分析框架中的不足，给出了满足精度条件的参数。其三，研究了基于数值耗散可控的时间积分算法优化方法，通过引入误差常数度量与极限谱半径度量，获得了在低频精度与高频数值耗散同时取得最优的高性能算法，并通过典型线性与非线性结构动力学算例进行了验证。重要结果包括以下四个方面。（1）建立了优化的A-稳定线性两步（OALTS）时间积分算法，其为隐式算法，具有A-稳定性，位移、速度和加速度能同时达到二阶精度，数值耗散可控，在谱半径分布、耗散和弥散误差、超调等数值性能上表现优异。（2）揭示了OALTS算法等效的单步时间积分优化算法，其为单步隐式算法，与OALTS方法具有一致的谱性能，位移与速度为二阶精度、加速度为一阶精度的特点，但加速度可以通过处理达到二阶精度。（3）建立了谱一致起步的OALTS高性能算法，其将OALTS算法等效的单步法作为起步算法，继承了两类算法的优点，且在起步与后续步中均具有数值耗散可控性，典型结构动力学算例验证了算法的优异性能。（4）揭示了一阶与二阶瞬态系统的时间积分算法相互可扩展性，因此所得到的高性能算法也能用于一阶瞬态系统，如瞬态热传导问题、率本构应力更新等。本项目研究获得的时间积分优化算法具有重要的工程应用价值，同时研究过程中建立的算法精度分析框架、算法优化分析框架都可以扩展到新的瞬态系统高性能算法的研究中，也具有重要的理论和科学意义。