三维非线性磁流体力学的自适应有限元方法

The main aim of the proposed project is to study the effective adaptive algorithms and mathematical theory of the a posteriori error estimates of finite element methods for the three dimensional nonlinear, fully-coupled incompressible Magnetohydrodynamics. Magnetohydrodynamics (MHD) describes the dynamics of electrically conducting fluid under the magnetic fields and plays an important role in the macroscopic motion of plasma. With the key investment of International Thermonuclear Experimental Reactor (ITER), the research on Magnetohydrodynamics and its simulation are getting more and more important. On the other hand, adaptive finite element method (AFEM) is one of the most efficient numerical methods for the partial differential equations, which makes it a hot topic in the scientific computing reserch. Focusing on the MHD problems relevant to the key ingredients of magnetically confined fusion, this project studies the efficient AFEMs for the 3D nonlinear, liquid metal, incompressible magnetohydrodynamics equations with complex structures and under intensive magnetic fields. We mainly build the mathematical theory of the residual type a posteriori error estimators of finite element methods for nonlinear MHD equations, develop its efficient adaptive algorithms and the corresponding solver of the large discrete systems, and simulate the metal liquid MHD in the device of Tokamak with high Hartmann number, large Lorentz force.

本项目主要研究三维非线性全耦合不可压缩磁流体动力学方程组的高效自适应有限元方法和后验误差估计理论。磁流体动力学（MHD）方程描述的是导电流体与电磁场之间的相互作用，对于研究等离子体的宏观运动具有重要作用。随着国际热核聚变实验堆(ITER)的重点投入，MHD方程的研究与模拟得到了前所未有的发展和关注。自适应有限元方法是求解偏微分方程的高效数值方法之一，也是当前科学计算研究的热点。本课题围绕磁约束热核聚变反应堆的关键部件研发中所涉及的磁流体力学问题，重点研究强磁场下的三维复杂几何、非线性、金属液体不可压缩MHD方程组的高效自适应有限元方法。我们着重解决非线性MHD方程组残量型有限元后验误差估计的数学理论困难，发展高效的自适应有限元方法和相应的大型离散方程组求解器，模拟托克马克装置中的高Hartmann数、大洛伦兹力的金属液体。

磁流体力学作为现代物理学一个重要的分支，在等离子体物理,金属液体,天体物理，冶金化工，航空航天以及受控热核聚变等技术科学都有着密切的联系，磁流体力学作为它们的重要研究基础受到了很大的关注。特别近些年来,发展磁流体力学（MHD）的高效数值算法成为计算数学领域的研究热点之一。另一方面，自适应有限元方法在计算数学和工程界流行了近40年，成为科学领域一个强大的计算方法。大量的工程计算实践表明，自适应有限元方法是数值求解偏微分方程的具有最优计算复杂性的方法之一。我们在本项目里主要围绕一些非线性不可压缩磁流体力学模型研究高效的自适应有限元算法及其数学理论。针对三维非光滑区域的不可压缩磁流体力学模型，我们研究了其磁场H（curl）棱单元逼近格式，设计了具有上下界的残量型后验误差指示子，基于后验误差估计发展了高效的自适应有限元算法。我们提出了适用于特大哈特曼数磁流体平板流动问题的各向异性自适应稳定化的有限元方法，能够模拟哈特曼数到100000的磁流体模型；针对磁约束聚变包层中无感应不可压缩磁流体模型提出了满足电荷守恒的混合有限元方法，给出了先验和后验误差估计，设计了自适应有限元方法。提出了了非定常不可压缩磁流体方程组的一个新的变分模型，设计了完全无散满足能量守恒率的有限元方法。