三维霍尔磁流体力学方程的守恒型有限元方法

Hall magnetohydrodynamics (Hall-MHD) has important applications in real-life, such as the field of astrophysics, space physics and controlled thermonuclear fusion. Compared with classical resistive MHD equations, the generalized Ohm's law of Hall-MHD has an extra Hall electrical field which renders the whole system's nonlinearity much more stronger. The strong coupling between fluids and electromagnetics and interaction of multiple time-scales make the robust and efficient numerical methods very diffcult to devise. At the present, for Hall-MHD, there are few researches about the finite element methods and fast iterative solvers.This project takes the three-dimensional incompressible Hall-MHD as model problem. Based on mixed finite element method and magnetic vector potential formulation, the main goal is to develop conservative finite element methods such that the divergence-free conditions for magnetic induction and charge conservation property are both satisfied. We will also consider implicit solvers and develop parallel codes, thus one can use relative big time step to implement long-time stable simulation in large scale. The project will also investigate efficient preconditioners and robust implicit iterative algorithms for the discrete systems and prove the well-posedness for steady problem and a priori error estimate of the proposed finite element methods.

霍尔磁流体力学方程(Hall-MHD)在天体物理、空间物理和可控核聚变等领域具有重要应用。与经典电阻MHD方程相比，其广义欧姆定律增加了Hall电场项，整个系统非线性更强。流体和电磁场间的强耦合和多时间尺度的相互作用，使得其稳健和高效数值方法的设计非常困难。目前Hall-MHD方程的有限元方法及快速迭代算法研究比较少。项目拟以三维不可压Hall-MHD为模型问题，以混合有限元和磁向量势公式为基础，发展相应的守恒有限元方法、隐式求解器和并行程序，使得磁场零散度条件和电荷守恒条件同时得到满足，以及使用较大时间步长进行长时间大规模稳定数值模拟。项目也将研究有限元离散问题的高效预条件子和稳健的隐式迭代算法，并证明稳态问题的适定性和有限元先验误差估计。

霍尔磁流体力学方程在天体物理、空间物理和可控核聚变等领域具有重要应用，是等离子体物理中研究双流体(电子流体和离子流体)现象的一个基本方程。流体和磁场之间的强耦合使得其高效可扩展求解算法的设计非常具有挑战性，而且离散格式中速度场、电流密度和磁感应强度的零散度约束对于高置信度模拟十分重要。本项目首先基于磁场强度变量和磁向量势变量对三维电阻MHD提出了一个新的守恒有限元方法，并使用BDM元离散速度变量，使得有限元格式能够同时满足三个零散度条件。进一步本项目基于电流密度和磁向量势变量，结合面有限元和棱有限元，对三维Hall-MHD方程也提出了一个新的混合有限元方法，使得离散电流密度和离散磁感应的零散度约束得到精确满足，并证明了离散变分问题的适定性。三维Hall-MHD离散后的代数方程组是一个典型的三鞍点问题，利用约束处理框架，对相应的代数方程组发展了高效的块预处理技术。利用PHG软件平台，本项目开发了相关有限元和预处理算法的三维并行程序。这些成果对双流体现象的研究以及磁约束聚变装置涉及的液态金属磁流体问题的高置信度模拟提供了新的可以信赖的解决方案。此外本项目也研究了含磁场系统中强各向异性椭圆方程的高效预处理迭代算法，以及三维非线性辐射输运方程基于Krylov子空间方法的整体预处理迭代算法，并研制了并行程序。相关研究成果为进一步发展模拟热核聚变领域遇到的复杂多物理场问题的高效算法奠定了良好基础。