带有非线性补偿随机规划问题的稳定性理论及其应用

As an important component of stochastic programming — stochastic programming with recourse, the stability of it mainly focus on conculsions about linear recourse, but there are rarely results about nonlinear recourse. The project will study the stability of stochastic programmingwith a nonlinear recourse — quadratic recourse and its applications. Firstly, for two-stage stochastic programming with continuous quadratic recourse, when all coefficients in the second stage are random, various types of stability results are established, then asymptotic properties and the rate of convergence about approximation problem are given utilizing different methods. By means of contamination technique, post-optimality analysis of it are obtained. Secondly, for multi-stage stochastic programming with continuous quadratic recourse , when recourse matrices are fixed, the continuity of the recourse function are obtained and the corresponding quantitative stability are given, meanwhlie, the similar results of the corresponding multi-period M-R model are also estabilshed. Fianlly, based on the results of above two model, new algorithms about reduction of scenario tree are designed, at the same time, the corresponding convergence are also proved. Applied these algorithms to practical portfolio problem, the results are reported.

作为随机规划的一个重要组成部分 — 带有补偿变量的随机规划问题，目前其稳定性结论基本集中于线性补偿的情形，而对于非线性补偿变量的随机规划问题稳定性则很少涉及。本项目就一类非线性补偿 — 二次补偿的随机规划问题的稳定性及其应用展开研究。首先，对于带有连续二次补偿的两阶段随机规划问题，当第二阶段优化问题的所有系数均为随机变量时，建立了其最优值函数和最优解集的多种稳定性结论，并利用不同的方法给出了该问题的渐近性结论和收敛速率的估计。借助于污染技术，对该问题进行后验性分析。其次，对于带有连续二次补偿的多阶段随机规划问题，在固定补偿矩阵的情形下，给出了其补偿函数的连续性并建立了该问题的定量稳定性结论以及相应的多期M-R的稳定性。最后，基于上面两种模型所得到的稳定结论，设计新的情景树约减算法，并给出所设计算法的收敛性。把这些算法应用到实际的投资组合问题中，给出实证结果。

带有补偿的两阶段随机规划模型由于其良好的灵活性及可操作性, 倍受运筹学家及其它领域学者的关注，并被应用到众多领域中，尤其在经济、金融和管理中。由于当前信息的不完备性及高维积分的难于计算性，使我们直接求解随机规划问题时面临巨大的困难。为此我们需要用一个简单易计算的规划来近似所要求解的随机规划问题，这就产生了近似问题的最优解和最优值是否能逼近原问题的最优解和最优值的问题。这就本项目所研究的内容，具体如下：.带有二次补偿两阶段随机规划问题在全随机的情形下，利用Fortet-Mourier概率度量，我们建立了该问题的量化稳定性结论。同时还得出了第二阶段优化问题的最优值函数的局部Lipschitz连续性和它的期望函数关于第一阶段变量和第二阶段所涉及的概率度量的Lipschitz连续性。借助于污染技术和大偏差定理，我们得到了相应的最优值函数的导数估计式和渐进收敛估计式。而且对分布式鲁棒二次两阶段随机规划问题，我们建立了定量稳定性结论，并给出了两种不同情形下的可等价求解模型。.带有二次补偿多阶段随机规划问题，在补偿矩阵为固定矩阵时，我们得到了递推关系。从而利用滤波距离我们给出了一个量化稳定性结论。与此同时，在Markov过程的框架下，带有风险厌恶的多阶段随机规划问题，引入一个时间相容性的概念后，我们也给出了该模型的定量稳定性。.基于上面的量化稳定性结论，我们利用情景树方法求解两阶段和多阶段二次随机规划问题。.在两阶段时，结合最优量化技术，把情景树生成和约减分别转化为广义半无限规划问题和混合整数无限规划问题。并应用到多阶段二次规划问题中，给出了情景树的生成与约减算法。