由投影重建图像的全变分正则化数值方法

由X射线投影重建图像的问题在医学、核工业生产等许多领域有广泛应用。图像重建问题的数学基础为积分方程反问题。根据有限幅投影数据，快速准确地求解此类反问题的数值方法是需要研究的问题。针对平行光和锥形束两种投影方式，建立利用有限幅投影数据的图像重建数学模型，从离散和连续的角度分析数学问题的性质，研究求解的数值方法。包括对病态线性代数方程组的求解、对偏微分方程的离散、差分格式的选择和迭代法的建立等。并拟利用在总迭代中将噪音和矩阵结构分开处理，在每一部分中使用快速算法的思路提高整体收敛速度。数值算法的收敛性，稳定性和运算速度将通过人工合成数据和试验数据两种途径加以验证。

根据X射线投影的物理过程，确定了轴对称物体密度重建的关键技术－Able变换的反演。提出了基于Abel变换反演的密度重建问题数学模型。新模型引入了高阶TV为正则化函数，并与其它正则化模型进行了比较，使用增广拉格朗日方法（Algmented Lagrangian Method）对各个数学模型进行了求解，数值结果验证了我们的模型在克服TV的“阶梯”效应，恢复密度函数值及CPU时间方面具有优势。在图像重建中我们还考虑了模糊和噪音的影响，特别是在模糊核未知的情况下，如何利用先验信息，估计模糊核的同时重建密度图像。针对实际问题中可能存在的情形，即轴对称物体在压缩过程中对称性有少量破坏，我们研究了如何利用单幅投影重建密度分布的层析成像方法。