磁流体方程的解耦算法及预处理快速求解方法

The main difficulties of numerically solving MHD problem are large scale, coupling, nonlinearity and multi-physics. The goal of this project is to overcome these difficulties and to design, analyze corresponding high efficient and stable numerical methods. The content of this study includes (a) On the general domain, we will design corresponding stable decoupled algorithms according to different fluid Reynolds number, magnetic Reynolds number and coupling number. And we will analyze the well posedness, stability and convergence for the decoupled algorithms. Therefore, we will establish the systematic theory for MHD's decoupled algorithms; (b)We will design and analyze preconditioning fast solver based on two-grids method for MHD equations. We first solve a small scale nonlinear MHD problem on coarse grid by direct method. Then, we design proper preconditioner for linear MHD equations on fine grid, and solve the large scale MHD problem by preconditioning krylov subspace method. In addition, we will theoretically prove the MHD fast solver has consistently sable convergent rate which is independent of physical parameters and grid size. Finally, we will program the decoupled algorithms and fast solver into software and compute practical MHD models.

数值求解磁流体问题的主要困难有大规模性，耦合性，非线性及多物理性等，本项目旨在为解决上述难点设计和分析相应的高效稳定的数值方法。具体研究内容包括：(a) 在一般区域上，根据磁流体方程不同的流体雷诺数，磁雷诺数和耦合系数设计相应的稳定的解耦算法，分析解耦算法的适定性，稳定性和收敛性，为磁流体问题建立普适的系统的解耦算法的理论框架；(b) 设计和分析磁流体方程基于两网格的预处理快速求解方法。我们先在粗网格上用直接解法快速求解小规模非线性磁流体问题，再在细网格上设计合适的预处理子，用预处理krylov 子空间方法求解大规模线性问题，并理论分析所设计的求解器有不依赖于物理参数和网格尺度的一致稳定的收敛率。最后将解耦算法和快速求解器编制成软件包计算磁流体应用问题。

磁流体力学(Magnetohydrodynamics)是研究导电流体与电磁场相互作用的一门学科。磁流体模型中的导电流体包括液态金属，等离子体，盐水，电解质等。磁流体力学在地球物理、天体物理、医学及工业应用中都有着十分广泛深刻的应用背景。磁流体动力学方程是描述流体运动的Navier-Stokes方程与描述电磁场行为的Maxwell方程通过洛伦兹力和欧姆定律耦合而成的偏微分方程组，研究磁流体力学的核心问题之一就是求解相应的磁流体方程，数值求解磁流体方程的困难有大规模性、非线性、耦合性、多物理性和不定性。针对上述困难，我们研究了磁流体方程的解耦算法及预处理快速求解方法等内容，具体如下。. 1.研究了磁流体方程的高阶数值格式。首次提出了磁流体方程高阶、线性和无条件稳定的数值格式，并建立了该格式的稳定性和最优阶收敛性。该格式具有(i)高精度(ii)易求解和(iii)稳定性等特征，在磁流体计算中有广阔的应用前景。. 2.研究了磁流体方程的高效解耦格式。首次提出了磁流体方程的全解耦线性化且无条件稳定的数值格式，建立了其稳定性和最优阶收敛性结果。该格式具有(i)高效性(ii)易求解和(iii)稳定性等特征，在磁流体计算中有较强的应用潜力。. 3.研究了磁流体方程的一致稳定的预处理求解方法。构造了磁流体方程的一致稳定的预处理子，并从理论上证明其一致稳定性结果，克服了当前预处理子依赖空间网格大小或物理参数大小的不足。这一工作优化了当前的磁流体方程预处理求解器，在大规模计算中有一定的应用潜力。. 4.研究了相场模型的IEQ(Invariant Energy Quadratization)方法的数值理论。系统的建立了相场模型IEQ方法的适定性、稳定性和收敛性理论，为IEQ方法建立了理论基础，并为多相问题的IEQ方法理论分析提供了一般性框架。. 5.研究了单相和两相铁磁流体的高效稳定的数值格式。首次提出了单相和两相铁磁流体模型的线性化、解耦、无条件能量稳定和连续有限元数值格式，该格式具有(i)易求解(ii)高效性(iii)稳定性和(iv)易执行等特点，这个结果克服了当前铁磁流体模型的非线性、全耦合和杂交元格式的不足，极大的提升了铁磁流体模型的求解效率和降低了算法的执行难度。