代数黎卡提方程的快速和超快速求解算法的研究

代数黎卡提方程的数值求解问题在二次调节器、中子转移理论、卡曼滤波、随机流体模型以及模型简化等领域有着广泛的应用，相关的数值求解算法己有很多。但是，绝大部份的算法的运算量均为O(n^3)，从而导致很多算法由于运算量过大从而减弱其实用性，甚至完全失去实用价值。然而，由于许多类型的黎卡提方程均涉及到结构矩阵的计算，因此我们这个项目的第一项研究任务是结合结构矩阵的快速算法的研究，设计和发展求解代数黎卡提方程的快速和超快速的高效率计算方法，同时对算法进行相关理论分析和研究。此外，由于各种类型的代数黎卡提方程均可以等价地转化为二次向量方程Mx=a+b(x, x)的形式（其中b(. , .)为一非负双线性映射），因此通过研究该二次向量方程的有效求解算法将为我们研究代数黎卡提方程的求解提供一个全新的思路。

在物理与工程的许多应用中，代数黎卡提方程的数值求解问题都是一个非常重要的问题，例如二次调节器问题、中子转移模型、随机流体模型、卡曼滤波及模型简化问题等。因此，代数黎卡提方程的数值求解算法的研究，有着非常广阔的应用背景和重要的理论和应用价值。国内外众多学者在这一领域做出了许多卓有成效的工作。然而，当问题的规模非常大时，现有的许多算法由于其所需的计算复杂度过高而限制了算法的应用。.. 本项目主要研究一类非对称和对称代数黎卡提方程的数值求解问题，由于利用基于精确或不精确牛顿迭代方法求解代数黎卡提方程时，每一次牛顿迭代步都需要求解一个Sylvester矩阵方程或Lyapunov矩阵方程，因此本项目对于这两类矩阵方程的数值求解问题也进行了大量深入的研究。.. 己取得的主要研究成果有：给出了一个求解一类对称代数黎卡提方程的基于加倍迭代格式的不精确牛顿迭代方法，证明了新算法的单调收敛性；利用非对称代数黎卡提方程与二次向量方程的等价性，给出了一个求解中子传输模型问题中产生的一类非对称代数黎卡提方程的迭代算法；基于求解线性矩阵方程组的PSS分裂迭代算法，给出了一个求解Sylvester矩阵方程的求解方法；基于梯度迭代算法，给出了求解Sylvester矩阵方程的一个新方法，同时结合预条件技术，给出了一个改进型算法。