Toric曲面的几何性质及应用研究

Multi-sided parametric surfaces play an important role in Computational Geometry. Toric surfaces is a kind of multi-sided parametric surfaces from the theory of toric varieties in Algebraic Geometry and toric ideals in Combinatorics. This project will do some researches on geometric properties and applications of toric surfaces. Firstly, we will discuss the classification of toric surfaces with the lattice equivalence theory in Combinatorics; Secondly, the blossoming and degree elevation algorithms of toric surface will be derived based on the Minkowski sum of lattice points; Lastly, on account of the definition and properties of toric Bernstein polynomials defined on an arbitrary convex domain, we choose the functions space spanned by toric Bernstein polynomials as the trial functions to solve the PDE with the Galerkin method.

多边参数曲面的表示和逼近是计算几何研究的一个重要内容。Toric曲面是由代数几何中的toric簇生成的一种参数域为任意凸多边形的参数曲面，它是有理Bézier曲面的一种多边推广。本项目拟对toric曲面的几何性质及应用进行研究。首先，使用组合学中的多边形等价理论研究toric曲面的分类，给出toric曲面的基本类型；其次，结合格点集的Minkowski和，推导特殊格点集所定义的toric曲面的金字塔算法与升阶算法；最后，利用toric曲面及toric Bernstein基函数的定义与性质，将定义在特定凸区域上的toric Bernstein基函数所张成的有限维函数空间作为试探函数，结合Galerkin有限元方法求微分方程数值解。本项目将对toric曲面的几何性质及在微分方程数值求解中的应用展开研究，对丰富几何造型的理论和应用具有一定的实际意义。

多边参数曲面的表示和逼近是计算几何研究的一个重要内容。Toric曲面是有理Bézier曲面的一种多边推广。本项目对toric曲面的几何性质及应用进行研究。研究内容主要包括三个方面，第一方面是基于toric退化推导了toric曲面几何连续的重要条件，并给出了基于控制定点几何关系的充分条件；第二方面为使用组合学中的多边形等价理论对toric曲面进行分类，给出toric曲面的基本类型；第三方面是利用 toric曲面及toric Bernstein基函数的定义与性质，将定义在特定凸区域上的toric Bernstein基函数所张成的有限维函数空间作为试探函数，结 Galerkin有限元方法数值求解微分方程, 如热传导方程，Navier-Stokes方程等。与传统的方法相比较，toric曲面不仅保持了有理Bézier曲面构造简单，形状可调等优点，而且造型范围更广，参数域更加多样，在曲面补洞、数据拟合、微分方程数值求解等应用中，区域网格剖分更加简单，所需的曲面片更少. 该项目展示了toric曲面在计算机辅助几何设计和计算机辅助制作领域的的应用前景。本项目累计发表论文5篇，其中SCI期刊4篇，培养硕士研究生2名，受邀参加第26届太平洋计算机图形学大会，并做报告。