最小最大时间问题与切锥公式

We will discuss subdifferential of optimal value function in minimal time problem and maximal time problem,establish tangent cone formula for the solution set of irregular nonlinear inclusion problem. Subdifferential of optimal value function in minimal time problem is a topic of the sensitivity analysis. Due to its special structure, finer results can be obtained, which does not hold for general optimization problem. Different from those known results, an important assumption of boundedness of set is removed.On maximal time problem, existence of solutions was discussed recently, however, subdifferential of its optimal value function has not been discussed.It is our purpose to discuss this topic in this project.Both minimal time problem and maximal time problem have close link with distance function, so does tangent cone. Tangent cone can be characterized by subderivative of distance function.We will discuss tange cone formula for irregular inclusion problem without assuming the involved set to be localizable. Though 2-regularity is still a basic assumption, we will give easy-to-check sufficient condition for 2-regularity. It seems that 2-regularity for finitely many inequalities is related to an important result in the trust region method, this observation will be useful for us to do this work.

本项目研究最小时间问题的最优值函数的次微分、最大时间问题的最优值函数的次微分、非正则包含问题的切锥刻画。最优值函数的次微分属于最优化问题的灵敏性分析。尽管关于抽象的最优化问题已经有很多灵敏性分析的结果，但是最小时间问题有特殊的结构，利用其结构所得到的结果更细致，而且是抽象最优化问题所没有的。我们不要求"集合的有界性"这一传统假设，这是与该问题其他研究成果最主要的不同。最大时间问题涵盖最优化领域内著名的最小球包问题作为特例，目前几乎没有关于其最优值函数次微分的结果，我们将尝试讨论。最大时间问题与最小时间问题都与距离函数密切相关。与距离函数有密切联系的还有集合的切锥，它通过距离函数的方向导数刻画。具有正则性的非线性包含问题解集的切锥刻画已被仔细研究，而不具有正则性的非线性包含问题解集的切锥刻画，仍然还有很多问题需要仔细研究。我们将探索易于检验的条件和放宽已有结果的限制条件，建立切锥的刻画。

本项目讨论了最小时间函数的次微分，主要贡献是在不要求映射具有calm性质的情况下，建立次微分的精确刻画。已有文献的同类型结果均假设该calm性质。我们完全去掉这个假设条件，保持结论不变，采取了新的证明方法。最小时间函数是一个最优化问题，变分不等式是研究最优化问题的重要工具，而且切锥在变分不等式方面有很多应用。本项目研究了变分不等式的稳定性分析和算法。稳定性分析方面的结果不假设任何单调性，不要求解是局部唯一。我们的方法适用于集值变分不等式，已知结果在研究集值变分不等式时通常假设单调性。算法方面的结果不要求任何单调性或者广义单调性假设，不要求可微性和任何广义导数信息，这是与已知结果最重要的区别。切锥公式与正则性有着密切联系，本项目研究了p-阶度量正则性的扰动分析，推广了1-阶度量正则性的经典结果，该结果采用了新的证明方法，利用了一个新的不动点定理，回答了Dontchev在2015年提出的公开问题。