二阶振动方程周期解的稳定性与解的精确个数

本项目主要目的是研究二阶非线性振动方程全局周期解的个数以及孤立周期解的稳定性问题，其方法适用一般半线性方程。具体的说我们希望对非线性项做适当的限制，给出全局周期解的唯一、唯二、唯三的判别方法。对孤立周期解给出何时稳定的充分条件，并对耗散系统，确定孤立周期解邻近的解以怎样的指数速度衰减到孤立的周期解。在判别周期解的个数方面，所采用的方法是近年来发展起来的无穷维空间奇异点理论结合整体分歧的方法来探讨解流形的几何结构，对单参数方程讨论何时解或正解构成一条解曲线以及解曲线的走向，从而给出解的个数。在研究稳定性方面主要采用经典的Floquet理论，但方法上有较大的突破，我们将判别Floquet乘子何时为一对共轭复根的问题转化为 Dirichlet问题，不但给出稳定性的判别方法，更重要的是确定指数衰减的精确速度。

应用无穷维奇异点方法与整体分歧的延拓方法研究半线性椭圆方程以及非线性周期问题在国际上仍处于探索阶段，虽然它已系统建立理论框架，但将这一理论具体应用到方程研究中有很多技术性问题需要克服。目前国外利用这一方法给出非线性项为三次多项式的唯三解的结果，我们将在非线性项为凸凹性函数的一般情形下给出相应的结果。关于非线性周期与半线性椭圆方程的正解的精确个数，国际上研究的结果依然很少，我们此项目目的是为了应用奇异点方法探索解的精确个数的新方法。