带有特定类型非线性微分算子的常微分方程边值问题研究

The proposal will aim to reveal the spectral structures of relativistic operator, mean curvature operator as well as p-Laplace operator, establish global bifurcation theorems for the corresponding nonlinear problems, and further obtain the existence, uniqueness, multiplicity and global bifurcation structure of solutions for relativistic equation, mean curvature equation and Monge-Ampere equation with several kinds of boundary conditions and nonlinearities. Moreover, we shall solve or partly solve the open problems of Hakl-Torres about periodic boundary value problems with indefinite weights, Torres about relativistic equation, and Lopez-Gomez about mean curvature equation. The research is expected not only to solve some important mathematical problems, but also to provide theoretical implications for computing the numerical solutions of nonlinear problems arising in other scientific fields.

本项目拟揭示相对场算子、曲率型算子及p-Laplace算子等非线性常微分算子的"谱"结构，建立其相应非线性问题的全局分歧定理，进而获得带各种边界条件和各种非线性项的相对场方程、曲率型方程及Monge-Ampere方程解的存在性、唯一性、多解性及解的全局分歧结构。拟解决或至少部分解决Hakl-Torres 关于不定权周期边值问题、Torres关于相对场方程、Lopez-Gomez关于曲率型方程等三个公开问题。研究结果不仅会解决数学领域内的一些大问题，而且对解决其它科学领域中的非线性问题可望提供重要的理论指导。

本项目开展对带有特定类型非线性微分算子的常微分方程边值问题的研究。研究了由多种边界条件所界定的差分算子的谱结构及其相应的非线性问题解的全局分歧行为。主要揭示相对论场算子、曲率型算子及p-Laplace算子等非线性常微分算子的“谱”结构，建立相应非线性问题的全局分歧定理，进而获得带各种边界条件和各种非线性项的相对论场方程、曲率型方程及Monge-Ampere方程解的存在性、唯一性、多解性及解的全局分歧结构；建立了带有不定权的二阶线性差分方程边值问题的谱理论；将Disconjugacy理论、Polya分解技巧等用于研究四阶线性微分算子的正性、Green函数的构造，进而建立极大值原理，发展上下解方法和单调迭代技巧；将本项目所获得的理论结果应用于解决梁方程、行波及社交网络中的实际问题。这些结果不仅会解决数学领域内的一些大问题，而且对解决其它科学领域中的非线性问题可以提供重要的理论指导。