局部域分析及其在分形分析中的应用

分形分析是当前国际数学领域最热门的研究分支之一。作为分形分析的一个重要工具，局部域分析在分形分析中的应用与日俱增地受到科学家们的重视。由于局部域具有自然分级与类分形的结构, 因此可以构建理论框架来描述复杂系统（如分形）的混沌行为。我们关注局部域分析，试图揭示其本质性质，并探求应用于分形分析的理论依据。本课题集中在以下四个方面的研究：1，改进并完善p-型微积分理论，用p-型微积分工具研究局部域上的分形函数并刻划其性质；2，研究局部域上的调和分析与函数空间理论，发展局部域上的表现理论与分解理论，刻划局部域上的分形空间并解决分形函数图象的维数估计问题；3，建立局部域上的p-型微分方程理论，包括微分算子谱理论及解的性质，研究Laplace方程的Dirichlet问题；4，研究局部域分析在分形分析理论中的应用，建立分形微分算子，发展分形集合上的微分方程理论，解决具有分形边界的Dirichlet问题。

分形分析是当前国际数学领域最热门的研究分支之一，主要处理底空间为分形的对象上的分析类问题。作为分形分析的一个重要工具，局部域分析在分形分析中的应用与日俱增地受到科学家们的重视。由于局部域具有自然分级与类分形的结构, 因此可以构建理论框架来描述复杂系统（如分形）的混沌行为。本课题的科研目标集中在以下两个方面：1.发展局部域分析，试图揭示其本质性质，并探求应用于分形分析的理论依据；2.研究由J. Kigami和Robert S. Strichartz等人发展起来的分形上的Laplace算子的分析性质。关于第一方面，我们发表和完成了5篇论文。利用拟微分算子理论引入了局部域上的新型Gibbs-Butzer导数的定义，并给出了它在局部域分析上的重要应用。这一导数算子关于检验函数空间以及相应的分布空间是封闭的。我们构造了该算子的卷积核，研究了它的谱性质，刻划了它的全体特征值和特征函数。关于第二方面，我们发表和完成了2篇文章。首先，我们研究了Strichartz domain上的Kigami的Laplace算子的精确谱刻划。Strichartz domain是最典型的带有分形边界的分形区域，被认为是研究和刻划分形Laplacian的很多重要性质和猜测的最直接的验证对象。针对特征值计数函数的Weyl渐进性质，研究表明该计数函数除了有主项渐进估计外，还有二阶项渐进估计。这与Weyl-Berry关于一般区域上的Lapacian的谱渐进猜测完全吻合，预示着带有分形边界的分形区域上应该也有类似的谱渐进行为。其次，我们得到了Sierpinski gasket型的分形对象上调和函数（以及Laplacian定义域内一般函数）的平均值性质。除此以外，在自相似集的维数与测度方面，我们也写了两篇文章。其一是证明了满足分离条件的自相似集的Packing测度的关于其相应迭代函数系统的连续性；其二是解决了广义有限型条件下线性Cantor集的精确Hausdorff测度和Packing测度的计算问题。