具有非线性扩散的时滞偏微分方程的Hopf分叉研究

Research on partial differential equation with the synthetic effects of time delay and diffusion has been recently a hotspot in the crossing domain between partial differential equation and dynamical system these years. So far all the studied systems have linear diffusion, and the corresponding operator is isotropic linear Laplace operator. The results of these research obtained concentrated mainly on the existence, stability, boundedness, multiplicity of solutions, and Hopf bifurcation of system with one to three dimensional for classical boundary conditions. And there are meaningful results about that. This research aims to explore Hopf bifurcation of partial differential equation including the synthetic effects of nonlinear diffusion and delay where they differed with previous studies. First, the operator in the system is nonlinear (p- laplace operator, for example). Second, to study the bifurcation property of the system, we not only consider classical boundary condition, we also discuss it for nonlinear and delayed boundary condition. Third, we shall try to develop a method which joins the eigenvalue theory, Galerkin approach of partial differential equation, and the center manifold theorem and normal form theory for dealing with Hopf bifurcation of delayed ordinary differential equations. Enabled it can been applied into many kinds of Hopf bifurcation analysis of nonlinear diffusion and delay problem. At the same time, it will provide strong theoretical foundation for many practical issues.

同时具有时滞和扩散的偏微分方程是近年来偏微分方程和动力系统交叉领域研究的热点之一。目前研究的对象中，扩散项均属线性，其算子为各项同性的Laplace算子，研究成果主要集中在解的存在性，稳定性，有界性和多解性。也研究了在经典边界条件下，一维到三维生态系统的Hopf分叉，并已取得一些有意义的研究结果。本项目拟对具有非线性扩散的时滞偏微分方程的Hopf分叉问题进行研究，与以往研究不同的是，系统中的算子是非线性算子，如p-Laplace算子。还将考虑非线性边界和时滞边界条件下的分叉性质。研究中，将偏微分方程的特征值理论，Galerkin逼近与处理时滞常微分方程Hopf分叉的中心流形定理和规范性理论衔接起来，给出了能够有效的应用于各类非线性扩散时滞问题的Hopf分叉研究的综合方法，为解决各种实际问题提供有力的理论依据。

本项目研究了具有非线性扩散和时滞效应的非线性偏微分方程的Hopf分叉等动力学行为，进一步深化和发展非线性微分方程分叉和混沌等动力学性质的理论成果。研究结合某些生物实际问题中出现的具体特点，建立调控网络模型并系统研究其动力学性质，通过数值仿真，结合生物实验结果，对所得理论结果进行了验证。本项目完成了研究任务，主要包括：（1）结合miRNA基因调控网络，提出了同时具有时滞和扩散的数学模型，结果表明，时滞可以诱导Hopf分岔，并影响周期解的振幅。同时，在一定的条件下，系统会出现空间非均匀的周期解。这将有助于对miRNA生物功能的研究。（2）结合HIV病毒感染网络，建立了带有三个时滞的HIV病毒感染模型并研究其动力学性质，结果表明时滞对该系统的动力学行为有重要影响，并提出相应的HIV病毒感染的控制策略。（3）结合神经元放电现象，建立了具有时滞的FHN和BAM神经元模型，结果表明系统具有多稳性，这不仅可以解决多种优化问题，还可以应用于系统识别，信号检测和处理，风险预测和医学鉴别问题的分类。4）针对细胞应对DNA损伤的p53-Mdm2癌症网络，建立了具有时滞的P53动力学模型，分析了Hopf分叉引起的振荡行为的影响。这项研究可能有助于更好地了解p53途径的生物学功能，并为癌症的治疗提供一些线索。5）建立了具有时滞的NF-κB网络调控模型，结果表明时延可以驱动NF-κB信号系统的振荡动力学。6）建立并分析了包含两个时滞的肿瘤生长的数学模型，结果展示了时滞对肿瘤生长的动态影响过程。本项目四年累计发表SCI期刊论文17篇，其中包括 INTERNATIONAL JOURNAL OF BIFURCATION AND CHAOS，Scientific Reports，DISCRETE AND CONTINUOUS DYNAMICAL SYSTEMS-SERIES B，INTERNATIONAL JOURNAL OF BIOMATHEMATICS，IET Systems Biology，IEEE TRANSACTIONS ON NANOBIOSCIENCE等国际知名SCI期刊。另外，在科学出版社出版专著一部（闫芳，刘海鸿，《系统生物学问题中的时滞动力学方法》，本项目培养了9名硕士研究生，其中6人继续攻读博士研究生。