时滞系统特征谱分布的新结论及其Hopf分叉研究

This project devotes in the distribution of characteristic spectrum of time delay systems (TDS) and the Hopf bifurcation issue. The assumption of bounded distribution area on the characteristic roots of TDS is proposed. Based on this proposition, the calculation of the number of unstable roots (roots with positive real part) is characterized into the definite integral of analytic function within a finite interval. Moreover, the Nyquist path is also limited in definite area, which is substantive amendment to itself. While the spectrum’s distribution is not sufficient to determine the dynamics of a class of weakly nonlinear TDS, the center manifold theorem and the Riesz projection theorem can deal with the problem of Hopf bifurcation on it. Associating with the normal form technique, expressions of parameters which illustrate the evolution of the periodic solution are obtained eventually. To some extent, this project gives some additional understanding on the intrinsic properties of time delay systems.

本项目研究时滞系统特征谱分布及其Hopf分叉问题，提出时滞系统正实部特征根分布区域有界性假设。基于这个假设，时滞系统不稳定根个数计算问题被归结为解析函数在有限区间上的定积分运算。同时，Nyquist曲线方法中涉及的无穷大封闭路径也被限定到了一定范围之内，判据得到了实质性修正。另外，当时滞系统的谱分布不足以判断系统动态时，运用中心流形定理和黎兹投影定理等泛函分析理论，对一类弱非线性时滞系统的Hopf分叉问题展开研究，结合规范型理论最终得出表征系统周期解演化信息的各项参数随时滞变化的级数表达形式。本项目的研究工作一定程度上增进了对时滞系统内在性质的认识。

本项目的研究内容为时滞系统特征谱分布的新特性及其Hopf分叉计算。时滞系统为无穷维系统，特征方程具有无穷多个特征根。时滞系统的稳定性取决于这些特征根的分布。系统正实部特征根个数的计算是一个受到广泛研究的问题。.结合全纯函数模的性质以及有限性约束条件，我们发现系统的正实部根仅分布在一个有限的确定区域。并且，特征根的分布边界可以根据系统对应的系数矩阵得到确切地计算。因此，复平面右半面的区域被限定到了以原点为圆心半径已知的有限区域以内。进而，与全纯函数零点计算有关的解析方法和数值方法都可以得到实际地应用。.同时，由时滞导致系统的Hopf分叉问题也吸引了大量注意力。现有计算方法存在计算复杂度以及模型保守性问题。根据共轭算子理论，我们为实现特征投影提出了新的内积形式，解决了计算复杂度问题。进一步地，将投影特征向量规范型系数的计算，整理成非齐次一阶常微方程求解问题，并最终提出广义的例程化算法，解决了模型保守型问题。.在项目开展期间，申请人与合作者录用、发表了若干专注和学术论文。主要成果包括：（1）科学出版社专著1部；（2）学术论文5篇，其中SCI检索论文4篇；（3）培养2名研究生。