凸体和函数空间上的赋值与拟赋值

In recent years, valuation theory on convex bodies and function spaces becomes one of the main research areas in convex geometrical analysis. Topics in this project include: O(n)/SO(n)invariant/equivariant/covariant Minkowski/Lp-Minkowski/Orlicz- Minkowski valuations; (Minkowski)valuations on spaces of functions such as Orlicz spaces: deal with some open problems such as discribing the characters of O(n) invariant/equivariant/covariant Minkowski valuations and investigate valuations, invariant/equivariant/covariant with respect to various transformation groups, on Orlicz spaces. Furthermore, we study geometric invariants similar to valuations on convex bodies: try to formulate several kinds of so-called quasi-valuations by finding typical such quasi-valuations and by characterizing them. Further, we try to extend the study to quasi-valuations on spaces of functions. Topics in this project are clearly on the frontier of this research area. The approach we adpot here, in which more analytic tools will be used, is quite different from those applied by many other authors. The goal and the results expected here are of obvious significancy and values in theory.

凸体赋值理论和更一般的函数空间赋值理论是当今凸几何分析领域的主流研究方向之一. 本项目将研究O(n)/SO(n)共变/协变Minkowski/Lp-Minkowski/Orlicz_Minkowski赋值; Orlicz空间等函数空间上的赋值: 寻找相应的典型赋值, 解决遗留难题(如O(n)不变/共变/协变Minkowski赋值的特征), 系统研究Orlicz空间等函数空间上关于各种变换群不变/共变/协变(Minkowski)赋值等. 在此基础上, 本项目还将开展对具有与赋值类似性质的凸体几何不变量的研究, 归纳定义几类"拟赋值", 找出相应的典型拟赋值, 并给出其特征性质刻画, 然后尝试对函数空间上的拟赋值进行初步研究. 本项目研究内容具有前沿性, 研究方法--不同于纯几何方法, 较多利用泛函分析等分析学工具--具有特色, 研究目标与预期结果具有明显的理论意义与价值.

本项目研究欧氏凸体和球面凸体及一般函数空间的赋值/拟赋值理论，尝试给出与不同变换群相容赋值的特征刻画、寻找新的赋值/拟赋值并研究其基本性质，建立一套纯分析的研究方法。项目研究取得了较好的研究成果：首次给出了一类Minkowski赋值特征的完整刻画；新发现了对偶平均Minkowski对称度、p-Minkowski非对称容度测度等几何不变量（潜在的拟赋值）；初步建立了球面凸集的基础理论，找到了一类非平凡的球凸体值赋值等；形成了一套研究球面凸性理论的分析方法，为今后进一步的研究工作打下了良好的基础。具体的主要成果包括. 首次利用平移变换群刻画Minkowski赋值：引进了平移-投影协变和平移-线性变换协变的概念，从而给出了正交投影和一般线性变换赋值特征的完全刻画。此项研究被瑞士著名专家Ludvig Monika等人评价为“打开了赋值理论研究新的一页（open a new chapter）”，为该领域的研究提供了一个新的研究方向与方法。首次给出了一般封闭曲面上凸集的分析形式定义，从而形成了一套研究球面空间凸性理论的分析方法（此前主要采用的都是几何语言与方法）。证明了关于球面凸集的Radon型、Helly型和Caratheodory型组合定理以及Minkowski型结构定理；研究了球面空间上的二元运算和一些变换，并在此基础上，找到了一类非平凡的求凸体值赋值，为今后球面空间上的Minkowski赋值研究奠定了基础；首次给出了球面凸函数分析形式的定义，并证明了关于球面凸函数的Jessen不等式等基础性质、讨论了球面凸函数的Lipschitz连续性等问题。为建立球面空间上的一般凸分析、凸几何分析及其应用理论等奠定了基础。作为相关研究，利用对偶平均Minkowski对称度，在一定条件下证明了Grunbaum有关凸体n+1条仿射直径存在的猜想成立。找到了一些新的凸体几何不变量。. 主办全国性学术会议2次，以学术委员会或组委会委员等身份参与组办国际学术会议3次；在“第8届全球华人数学家大会”，“第2届全国积分几何、凸几何与离散几何相关领域年会”等做特邀/邀请报告10余次。培养13名硕士研究生，在已经毕业的9名研究生中，5人考取了博士研究生。