顺从李群作用下动力系统熵及相关问题的研究

In this project, we mainly concern the entropy and related problems in dynamical systems. More precisely, we will investigate the weighted topological entropy, the entropy of dynamical systems acted by amenable Lie group， and the relationships between the topological entropies of the dynamical system acted by the Lie group and its countable discrete cocompact subgroup. We will study the following problems:.1) the weighted topological entropy and the variational principle under the action of real group;.2) the topological entropy, the Brin-Katok formula and the variational principle on noncompact subsets of those dynamical systems acted by amenable Lie group, and the intrinsic relationships between the topological entropy of the system acted by the Lie group and its countable discrete cocompact subgroup; .3) related problems corresponding to 1) and 2) in relativization and more general randomness frame. Other related problems, such as dimension of. random self-affine fractal will also be considered..The study of these problems will help us to understand further the entropy and related problems in dynamical systems.

本项目涉及动力系统中的熵及相关问题，将主要致力于实数群作用下的加权形式的拓扑熵、顺从李群作用的熵及其与它的可数离散余紧子群作用的熵的关联的研究。项目的研究内容具体如下：.1）实数群作用下的加权形式的拓扑熵及其变分原理。.2）顺从李群作用的动力系统在非紧集上的拓扑熵，Brin-Katok公式和变分原理，以及顺从李群作用下的动力系统的拓扑熵和它的可数离散余紧子群作用的拓扑熵的内在关系。.3)在相对化以及更一般的随机框架下考虑相应于1）和2）的一些问题，并进一步考虑与之相关联的随机自仿分形的维数等问题。.项目的这些研究将使人们对动力系统中的熵及相关问题有更深入的理解。

本项目涉及动力系统中的熵及相关问题，将主要致力于实数群作用下的加权形式的拓扑熵、非自治动力系统的Bowen多项式熵的研究，另外，我们在维数理论方面也展开了研究。项目的研究内容具体如下：.（1）熵理论及其相关问题的研究方面，我们对连续流引入加权测度熵和非紧集合的加权拓扑熵的概念，同时建立了变分原理；并研究其与时间1映射加权熵的关系。 还对amenable 群作用的相对化的 Shannon-McMillan-Breiman 定理完成了遍历情形的证明，利用遍历情形的这一阶段性成果已经可以解决一些问题。.（2）非自治动力系统的Bowen多项式熵，上世纪70年代Bowen引入Bowen熵，这一概念在动力系统与之相关的维数估计中扮演了重要的角色。本项目中我们研究了非自治系统的Bowen多项式熵，这是对经典的Bowen熵的一个推广。具体而言，对非自治系统的紧集上我们建立了Bowen多项式熵的变分原理。同时我们也证明了对非自治系统，Bowen熵其实是可以由非自治系统的局部测度熵所决定的。.（3）具有控制分解的C1扩张映射排斥子的维数估计. 上世纪七八十年代，Bowen，Ruelle，Gatzouras以及Peres 等分别对C^(1+a),C1的拓扑混合的共性排斥子使用拓扑压的Bowen方程的解得到其维数估计。随后，对非共性情形，Barrera, Falconer ,Zhang,Cao,Pesin和Zhao等人有系列的维数估计的工作。在本项目中对具有控制分解的C1扩张映射排斥子，我们使用次可加和超可加压的变分原理(热力学公式）给出了其维数的sharp的上，下界估计。. 项目的这些研究将使人们对动力系统中的熵及相关问题有更深入的理解。