几类互不相交的区组设计

This research work belongs to the scope of combinatorial design theory and is devoted to studying the existence and constructions of several kinds of mutually disjoint block designs. In specific, the following configurations will be studied: conjugate invariant large sets of idempotent quasigroups, mutually disjoint t-designs, and mutually disjoint packing designs. In general, this project will research into mutually disjoint 2-designs with block size k≥4 and mutually disjoint t-designs with t≥3. Meanwhile, we will also investigate mutually disjoint t-designs with variable-index λ. In order for the practical application to quantum jump codes, we will explore the existence and constructions for mutually disjoint packing designs. As a special case of mutually disjoint block designs, the conjugate invariant large sets of idempotent quasigroups will also be studied. This project will investigate these combinatorial configurations by utilizing combinatorial approaches, the theory of finite groups, coding theory and effective search algorithms; a series new results is expected by our research.

本项目的研究内容属于组合设计理论，拟研究几类互不相交区组设计的存在性问题及其构造方法。具体研究内容包括三个方面：共轭不变的幂等拟群大集、互不相交的t-设计、互不相交的t-填充设计。拟研究区组长度k≥4的互不相交的2-设计以及t≥3的互不相交的t-设计。同时，将不交t-设计的研究推广到互不相交指标可变的t-设计上，以期取得更好的下界。另外，基于量子跳跃码的组合构型，将探索互不相交t-填充设计的存在性问题与构造方法。作为互不相交区组设计的特例，还将研究具有共轭不变性质的幂等拟群的大集。本项目拟挖掘深刻的组合设计理论，并注重有效结合代数工具、编码理论和高效算法，以期取得一系列高水平的研究成果。

本项目的研究内容属于组合设计理论，主要研究了几类互不相交区组设计的存在性问题及其构造方法。本项目研究了互不相交的t-设计及互不相交的t-填充设计，以此可构造t-自发发射纠错设计（t-SEED），这对应t-量子跳跃码的组合构型。本项目深入研究了t=2，3时t-SEED维数的上界和下界，确切刻画了其上界及可达上界时的组合构型，给出并证明了几种t-齐次群作用下t-SEED维数新的下界。对t=1，k≤6的所有情形，借助Baranyai定理精确确定了其维数的最优值。针对一般强度t，给出了若干新的递推构造方法，改进了原有的上界和下界。作为互不相交的区组设计的特例，本项目还研究了Kirkman三元系大集、互不相交的Steiner四元系、r-golf设计（共轭不变性质的幂等拟群的大集）及带加号的可分组设计大集。另外，本项目也研究了其它类型的区组设计问题，比如型为1^ns^1的可分组3-设计、导出为frame的H-设计、部分几何差集和差族等。