多复变的离散化和切片化理论

In 2010 Smirnov was awarded the Fields medal for his work on the mathematical foundations of statistical physics for the proof of conformal invariance of percolation and the planar Ising model. However, the higher dimensional problem remains a very important and difficult open problem. In view of the fact that the two-dimensional solution of the Ising model is strongly dependent on the discrete complex analysis, the discretization and slicing of several complex variables could provide a powerful mathematical tool for solving the high dimension Ising model problem. This project will study the discretization and slicing of several complex variables. The goal is to solve the important global convergence problem in the discrete theory of several complex variables and to systematically construct the slice theory on the regular quadratic cones of real alternative algebras. The project is an extension of several complex variables to the discrete, non-commutative and non-associative realm of mathematics, which has important theoretical and application value.

统计物理中二维Ising模型和渗流的共形不变性是Smirnov获得2010年菲尔兹奖的工作，相应的高维问题至今是非常重要而且困难的公开问题。鉴于Ising模型的二维求解强烈依赖于离散单复变，多复变的离散化和切片化将为求解高维Ising模型问题提供有力的数学工具。本项目将研究多复变的离散化和切片化，其目标是求解多复变的离散化理论中重要的整体收敛问题，以及系统地建立实交错代数的正则二次锥上的切片理论。该项目是多复变在离散、非交换、非结合领域的推广，具有重要的理论和应用价值。

本课题深入系统地研究了多复变的切片理论和离散理论。我们修正了教科书中关于正则延拓的相关错误， 首次将Riemann域推广到切片分析理论， 从而将切片理论从局部推广到整体。 在切片分析的几何函数论中， 我们解决了四维情形下的Bieberbach猜测， 证明了在切片四维情形下Bieberbach猜测成立，这与多复变几何函数论中高维情形下Bieberbach猜测不成立形成了鲜明对比。我们将切片分析推广到多元理论，针对切片的四元数类型、切片棱的复结构、切片的代数结构等方面进行了深入研究。 在离散分析方面， 首次引入了离散边界和离散法向量概念， 建立了新的版本的Cauchy-Pompeiu公式， 它与连续版本的相应公式几乎相同。古典的离散版本的相应公式却不是这样，它具有一项非常难以处理的额外项。 我们的公式与古典公式相比具有重要优势，它非常简洁、优美、 克服了传统公式的缺陷。利用这一公式， 我们系统地研究了离散版本的Dirac算子的分析理论，建立了离散Plemelj公式， 解决了相应的Dirichlet问题。 我们还解决了离散全纯函数的Taylor级数的收敛性问题；为高维Ising模型的研究引入了有效的数学工具；统一了离散Clifford分析和古典Clifford分析。