多复变函数论在非交换非结合领域的推广

Hermitean Clifford analysis, as a generalization of the theory of several complex variables, is a complexification of the standard Clifford analysis. In 2012, Sommen and his collaborators established the theory of quaternionic Hermitean Clifford analysis, which is a quaternionification of the classical Clifford analysis. A circulant matrix valued operator was constructed from twist Hermitean Dirac operators. It has the Cauchy integral formula similar to the d-bar operator of the theory of several complex variables, which generalizes the Matinelli-Bochner integral formula . There holds the corresponding theory of Hilbert transforms. An open problem arises about how to extend the result from the complex case and the quaternion case to the general cases, e.g., the cases of Clifford algebra, octonion, quasi-quaternion. Solving this open problem is precisely the main objective of the project. It will provide for the theory of differential manifolds with the structure of octonion or Clifford algebra, similar to the classical complex structure or quaternion structure. It also provides for the theory of partial differential equations with new operators similar to d-bar operator so as to give new energy for the theory of differential geometry and analysis. As a result, it provides Clifford analysis an important role in mathematics.

Hermitean Clifford分析是多复变的推广，也是古典的Clifford分析的复化。 2012年Sommen等建立了古典Clifford分析的四元数化理论，发现了由四元数twist Hermitean Dirac 算子族构造出的类似多复变d-bar算子的循环矩阵值算子具有平行的Cauchy积分理论， 推广了多复变中的Matinelli-Bochner积分公式，给出了相应的Hilbert变换理论。一个公开问题就是如何将这一理论从四元数化推广到一般情形，包括Clifford代数、八元数、 拟四元数等情形，这正是我们的研究内容。这一公开问题的解决将为微分流形理论提供类似于复结构和四元数结构的八元数结构和Clifford代数结构，为偏微分方程理论提供类似于多复变的d-bar算子， 从而为微分几何和复分析注入新的活力，也为Cliffod分析奠定自身的地位。

本课题系统地研究了非交换非结合的多复变。关于切片Clifford分析中的切片Dirac算子， 建立了四元数版本的Julia引理，修正了教科书中的相关错误。切片Clifford分析理论的重要意义在于它产生了S-谱理论，由于四元数版本的自伴算子的S-谱是实值的, 因此该理论在四元数量子物理中具有重要的应用价值。首次开展了多元八元数理论的研究，具体地构造出Bochner-Martinelli核函数积分公式、发现了Hartogs现象。根据宇宙模型的M理论，宇宙是4维Minkowski空间与微小直径的G2流形的直乘积，其中G2是八元数的自同构群， 因此多八元数理论的研究具有重要的理论意义。将四元数Hermtian Clifford分析从四元数版本推广到其它代数情形， 例如仿复结构， 建立了相应的Cauchy积分理论。研究了根源于物理的k-Cauchy–Fueter算子理论。 以前的研究工具基于正合序列和彭罗斯变换。我们首次引入了研究该算子理论的分析方法，其优势在于它使得我们建立了相应的Bochner-Martinelli积分核的显示表达式，为该理论的进一步发展奠定基础。经过四年的研究，本项目发表有标注论文24篇，其中SCI收录20篇，主要代表作发表在Trans. Amer. Math. Soc. 以及Pacific J.Math.等重要学术期刊上。培养毕业博士5名，其中1人获得中科院院长特别奖。