无界区域最优控制问题的无限元方法研究

Optimal control problems in unbounded domain widely exist in many practical applications, such as air pollution control problems, reservoir numerical simulation and so on. Therefore ,the study of the numerical methods for the optimal control problems in unbounded domain has significant theoretical value and application prospect. We found the infinite element method can solve many problems in unbounded domain. This project will study the optimal control problems in unbounded domain by infinite element method.This project will do research on linear elliptic and parabolic optimal control problems in unbounded domain, nonlinear elliptic and parabolic optimal control problems in unbounded domain by infinite element method. We will discuss the existence of the infinite element solution, the priori error estimates and convergence.The state and the co-state will be approximated by the lowest order Raviart-Thomas infinite element and the control will be approximated by piecewise constant functions. Combining the regularity of the equations, duality argument, weighted Clement-type interpolation operator,interpolation postprocessing technique, as well as the application of Helmholtz decomposition and Bubble function, we will obtain the priori error estimates and convergence. Finally we will provide some numerical examples to verify the theoretical results.

无界区域的最优控制问题在很多领域中广泛存在，如空气污染控制问题、油藏数值模拟问题等，因此研究无界区域最优控制问题的数值计算方法具有重要的理论价值和应用前景。我们发现无限元方法可以解决很多无界区域里的问题。本项目将利用无限元方法研究无界区域里的最优控制问题。研究内容包含无界区域里线性椭圆最优控制问题、线性抛物最优控制问题、非线性椭圆最优控制问题、非线性抛物最优控制问题，讨论它们无限元解的存在性，先验误差估计和收敛性。我们采用最低阶Raviart-Thomas 混合有限元逼近状态变量、分片常数逼近控制变量，结合方程解的正则性、对偶论证、加权Clement 型插值算子、插值后处理技巧，应用Helmoholtz分解和Bubble 函数思想等，将获得混合无限元解的先验误差估计和收敛性。最后我们用数值算例验证这些理论结果。

本项目主要研究无界区域的最优控制问题，建立数值方法，进行数值实验。我们研究了两类最优控制问题解的存在性。控制方程为椭圆问题，带Dirichlet 边界 和Neumann 边界 的。这里研究区域是一个无界区域，我们研究了上述最优控制问题在无界区域上的解的存在性，并进行推广至三维情形。此外我们尝试建立各学科之间的联系，我们还研究了最优控制问题在金融方面的应用，我们利用时间分数阶B-S模型和数值方法来定价不同的欧式期权。本项目的研究成果以学术论文形式展现。