Banach空间的嵌入理论及其应用

The classical embedding theory of Banach spaces has always been an important problem in the study of functional analysis. In recent ten years, the "coarse embedding" of the profound background of coarse geometry has become a very new topic in the embedding research field and it has been received great concern.The purpose of the projection is to strength and develop the theory,tools and methods in the embedding research field. Combining the classical "embedding" with the modern "coarse embedding",we want to solve or partly solve some important problems in the following fields: (1)the perturbations of isometries on Banach spaces and isometric embedding; (2)the perturbations of isometries on metric spaces and the approximations of coarse isometries; (3)the embeddings of super weakly compact sets into super reflexive Banach spaces; (4)the embedding characterizations and sufficient conditions of bound geometric metric spaces into super reflexive, Hilbert spaces and those spaces with "Property H"; (5)the characterizations of Banach spaces with "Property H."

经典Banach空间嵌入理论一直是泛函分析研究的核心问题。近十年来，具有深刻粗几何背景的"粗嵌入"成为"嵌入"研究领域中目前国际同行高度关注的一个崭新课题。本项目致力于加强和发展嵌入问题研究的理论、工具和方法，将经典"嵌入"理论和现代的"粗嵌入"理论有机结合起来，探讨和解决或部分解决下列领域的重要问题： （1）Banach空间上的扰动等距与等距嵌入； （2）度量空间上的扰动等距与粗等距的逼近； （3）超弱紧集向超自反空间的嵌入问题； （4）有界几何度量空间可嵌入进超自反、Hilbert空间和具有"性质H"的Banach空间的特征和充分条件； （5）具有"性质H"的Banach空间的特征。

本项目属Banach空间嵌入理论及其应用的范畴，致力于研究包括粗嵌入在内的嵌入理论、方法和工具，将“经典”问题通过小扰动等距映射和Mazur映射研究为主线，和“现代”问题有机结合起来，同时，考虑它们在相关学科的应用. 所取得的代表性结果为 1）证明了Banach空间上非线性谱系的庞加莱型不等式对指数p是稳定的，肯定的回答了此领域的一个基本问题. 这一结果已被泛函分析尤其非交换几何领域专家引用. 2）（和王勤教授合作）证明了每个非平凡余型的可分Banach格空间具有Kasparov-Yu的性质（H），这对粗Novikov猜测和强Novikov是一个重要进展. 3）（和程立新教授等合作）建立了非满小扰动等距的万有稳定性定理，由此不仅统一了此领域已有的结果而且催生了一系列新结果. 4）（和程立新教授等合作）证明了每个无穷维Banach空间上都具有不等价的非紧性测度，肯定的回答了这个公开了多年的基本问题.. 本项目组主要成员共发表12篇SCI学术论文，其中项目负责人发表10篇. 论文已发表在诸如《J. Convex Anal》，《J Funct Anal》,《Studia Math》，《Sci. China Ser. A》, 《J. Math. Anal. Appl》, 《Bull. Aust. Math. Soc.》等国内外SCI刊物上，均标注有“国家自然科学基金资助”.. 资助课题组成员参加学术会议、国内外学术访问15人次. 10人次国际和全国会议报告. 资助课题组成员国外、境外大学访问4人次. 邀请国外专家3人次来厦门大学讲学. 在该项目的资助下，已培养了博士后1人，培养博士生5人（其中4人已获得博士学位，1人在读）、硕士生5人（其中3人已获得硕士学位，2人在读）；指导本科生4人（均获得学士学位）.