Pi-可除O-模的结构

The proposed project focuses on the study of Pi-divisible O-modules. The research topics include the classification of Pi-divisible O-modules, the structure of Pi-divisible O-modules over fields of characteristic p, and deformations of Pi-divisible O-modules. Using display theory, we obtain a complete classification of Pi-divisible O-modules in a very general setting. In particular, if the base is a perfect field of characteristic p, we may easily generalize Dieudonne theory, hence may study Pi-divisible O-modules in a more explicit way. More precisely, we study the following problems: the existence of slope filtration of Pi-divisible O-modules, the purity result about the Newton polygon of Pi-divisible O-modules, minimal Pi-divisible O-modules, Traverso's isogeny conjecture, and deformations of Pi-divisible O-modules. Solving these problems would help us to understand Pi-divisible O-modules and connect them with related research topics in algebraic number theory and algebraic geometry.

本项目主要研究对象是Pi-可除O-模。项目研究包括Pi-可除O-模的分类，定义于特征p的域上的Pi-可除O-模的结构，以及Pi-可除O-模的形变理论。利用display理论，我们对Pi-可除O-模有一个完整地分类。当基底为特征p的完备域时域，我们可以容易得到Dieudonne理论的推广，从而能够对Pi-可除O-模的结构作深入的精细的研究。我们的具体研究问题包括Pi-可除O-模的slope filtration的存在性，关于Newton polygon的purity结果，极小的Pi-可除O-模，Traverso的同源猜想，以及Pi-可除O-模的形变理论。这些基础问题的解决将提升我们对Pi-可除O-模本身的理解，也有利于我们将Pi-可除O-模联系到代数数论和代数几何的相关问题上，得到新的进展。

本项目主要研究π-可除O-模的结构、形变、以及模空间等。π-可除O-模是一类带有特殊对称结构的Barsotti-Tate群，关于这类对象的深入学习对我们进一步了解p-进Hodge理论、PEL型Shimura代数簇的局部结构、以及p-进Galois表示等有极大帮助。在本项目中，我们利用Dieudonné 理论、display和O-display，证明了如下结果：1、在好的基底上，如果一个π-可除O-模在每一点的Newton polygon都是相同的，那么它与一个具有slope filtration的π-可除O-模同源；2、在好的基底上，如果一个π-可除O-模在去掉一个余维数大于1的子集外的Newton polygon都是相同的，那么它在所有点的处的Newton polygon是相同的；3、所有π-可除O-模都满足所谓的Oort条件；4、关于π-可除O-模的Traverso同源猜想成立，即一个π-可除O-模的同源类由它的部分挠元决定。在研究π-可除O-模与Galois表示的关系时，我们发现了表示论在信号分析方面的若干应用：在G是有限群时，我们对紧(G,α)-框架做了完整分类，并在G交换时证明了相关投射表示中极大张成向量的存在性，并将此推广到了紧群和某些特殊局部紧群的情形。