分段光滑系统的分支问题

In 2010,Buzzi et al.proved that hyperbolic canard cycles were limit sets of families of hyperbolic limit cycles. In this paper,after they used the regularization process plus a blow up to study the piecewise smooth system, they obtained a singular perturbation problem. Their results implied that the canard cycle was the periodic limit set of closed orbits of this singular perturbation problem.Then they raised an open problem: they hoped to use the geometric singular perturbation theory proposed by [Dumortier,Roussarie,Canard cycles and center manifolds,Mem.Amer.Math.Soc,1996] to obtain the same result. At first,we devote to sloving this open problem. Then we shall give a general formula to calculate the number of canard cycles of piecewise smooth systems. The second goal of this project is concerned with the bifurcation analysis of a calss of piecewise linear--cubic Hamilton system.If the linear system has a saddle, we will obtain the number of limit cycles.When the linear system has a focus, this system will appear sliding motion,combing with geometric singular perturbation theory,we will be the first time to obtain the number of limit cycles generated by sliding cusp bifurcation and their stability.

Buzzi等学者在2010年证明了一类分段光滑系统的双曲鸭环是双曲极限环的极限集.他们对该分段光滑系统使用正则化过程和blow up 技巧得到了一个奇异摄动系统. 他们的结果意味着：鸭环是上述奇异摄动系统闭轨的极限周期集.他们提出了如下公开问题:希望利用在文[Dumortier,Roussarie,Canard cycles and center manifolds,Mem.Amer.Math.Soc,1996]中提出的几何奇异摄动理论得到同样的结论.本项目将首先致力于解决此公开问题,然后给出分段光滑系统鸭环的一般计算公式.本项目的第二个研究内容是对一类分段线性—三次Hamilton系统做深入地分支分析.当线性系统出现鞍点时,我们将给出此时系统能出现的极限环的个数.当线性系统出现焦点时,此时将出现滑动运动,结合几何奇异摄动理论,我们将首次研究滑动尖点分支产生的极限环的个数及稳定性.

分段光滑系统在很多方面有着重要的应用：如在电子、控制论、生物学等方面都有着重要的应用. 本项目主要研究一些分段光滑系统的分支问题. 具体来说，项目组主要做了以下几方面的研究工作. ..(1)皮定恒及其合作者研究了一类平面分段光滑系统，这类系统由一个线性系统和二次的Hamilton系统构成. 其中线性系统具有4个参数. 我们推广和改进了[Dingheng Pi and Xiang Zhang,The Sliding Bifurcations in Planar Piecewise Smooth Differential Systems, J.Dynam.Diff. Eqns, 2013, 1001-1026,]中的结果. 此外，我们讨论了线性系统出现虚焦点时，可以出现一个极限环，这部分是新的结果. 还研究了由一个线性系统和一个三次Hamilton 系统组成的分段系统的分支问题. (2)皮定恒及其合作者研究了一类平面分段光滑线性系统的分支现象, 这个分段光滑系统含有5个参数. 我们得出了至多可以从该分段光滑系统分支出两个穿越周期轨. 此外，我们还给出了此系统出现滑动周期轨，穿越-滑动周期轨，滑动同宿轨 等滑动现象时参数满足的条件. 据我们所知，在以前人们研究分段线性系统的分支现象时，sliding bifurcation 现象经常被忽略了，而这些分支现象应该引起人们重视. (3) 我们证明了：对于不连续边界为一张超平面的 n 维分段光滑系统，如果其存在一个渐近稳定的（穿越或者带有滑动运动）周期轨，则其正则化系统也有且仅有唯一的周期轨，并且当正则化参数趋于 0 时，正则化系统的周期轨趋近于原分段光滑系统的周期轨. 最近还将这部分结论推广到具有余维2的不连续边界的分段光滑系统.