几类多时间尺度微分方程系统的组合方法

In this project, we mainly discuss the linear and nonlinear stability, structure-preserving properties, quantitative error behaviours and long time error behaviours of combined methods and other methods based on the system partitions and the operator splits for the initial value problem systems of differential equations (such as delay or stochastic stiff problems, multiply-stiff，multiple-parameter, delay or stochastic singular perturbation problems and the corresponding differential-algebraic systems, and stiff oscillatory problems) and singular perturbation fractional differential equations in fixed or variable step-sizes. Some essential difficulties from the coexistence of a part of the complex factors including stiffness, delay, high oscillation, sinular perturbation, stochasticity and nonlocality etc. are overcome. Some important and difficult problems in theory, algorithm and application are solved which appear in the process of the numerical solution to enrich and develop the algorithm theories of the system with multiple time scales and fractional differential equations. Based on the above work, for these systems, some known algorithms are improved, and some new efficient truth-preserving combined algorithms and other algorithms are given which can be implemented and applied efficiently. The obtained theoretical results and numerical methods will be extended and applied to the initial-boundary value problems of delay or stochastic partial differential equations and the other problems. These will be beneficial to the researches and developments in the related application fields of sciences and engineering.

针对几类重要的多时间尺度微分方程初值问题系统(含时滞、随机刚性问题，多刚性、多参数、时滞、随机奇异摄动问题及相应的微分代数系统，刚性高振荡问题)及奇异摄动分数阶微分方程等其它系统，重点研究基于系统分离或算子分裂的组合方法及其它方法在定、变步长情形下的线性与非线性稳定性、保真性、定量误差和长时间误差性态，克服刚性、时滞、高振荡、奇异摄动、随机、记忆性等复杂因素部分并存所带来的实质困难，解决求解过程中所遇到的一些重要和困难的理论、算法、应用问题，丰富和发展多时间尺度系统和分数阶微分方程的算法理论。在此基础上，改进已有的求解这些系统的算法，构造新的适用于这些问题类的能有效实现与应用的高效保真组合算法及其它算法；进一步将所获的部分理论结果、部分高效算法推广、应用到（时滞、随机）刚性偏微分初边值问题等相关问题的计算；为科学工程中相关应用领域的研究和发展提供有益的帮助。

时间多尺度问题（刚性问题、高振荡问题等）、随机问题、非局部问题均常出现于许多科学和工程领域中，深入研究其理论和数值方法具有重要的科学意义和广泛的应用前景。. 本课题着重针对三类多时间尺度微分方程：（时滞或多）刚性微分方程初值问题、（时滞）奇异摄动初值问题和微分代数方程、高振荡问题，开展算法理论和高效数值算法的研究（如隐显多步法、隐显单支方法、叠加Runge-Kutta(RK)方法、Rosenbrock-RK隐显方法、迭代方法、Hagedorn波包和分裂波包方法、小波自适应时间分裂有限差分方法等），获得了一些有意义的新性质、新结果及新高效算法。特别是，(1) 在国内外首次提出并发展了（时滞）刚性微分方程初值问题的隐显单支方法及其理论，构造了多个的高效算法，并拓展到捕食者-食饵时滞扩散模型，提出了两类隐显多步有限元方法，其中克服了时滞导致的解导数间断给误差分析所带来的困难（而以往文献中常设解充分光滑）；(2) 建立了叠加RK方法的非线性稳定性和B-收敛性理论，拓广了已有RK方法的相应理论；(3) 针对超临界Gross-Pitaevskii方程的局部高振荡性，提出了高效小波自适应时间分裂有限差分方法；(4) 针对“经典Hamilton系统数值方法不能同时保辛、保能量”的公开问题，构造了辛可分RK方法，实现了在较弱的意义下的同时保辛保能量。. 在此基础上，开展了随机和分数阶微分方程的理论及数值方法研究。特别是，(1) 基于随机树理论，针对Stratonovich和Ito随机微分方程，构造了新高阶高效随机RK方法；(2) 首次建立了分数阶Halanay不等式及分数阶Volterra泛函微分方程的耗散性和收缩性理论； (3) 发展了空间分数阶Schrödinger方程的保质量和能量的Crank-Nicolson格式和线性隐式差分格式，获L2 和最大模误差结果；(4) 发展了带完整约束和积分约束的分数阶变分问题的差分方法及指数收敛的Rayleigh-Ritz方法，其中带完整约束的工作在国内外是首次；(5) 深入研究了一些反常扩散过程的统计特征，推导出了其概率密度所满足的分数阶Fokker-Planck型方程。