多稳定态时滞扩散系统的空间传播

具有多稳定态的时滞反应扩散系统是描述自然界中多种群系统演化过程的重要模型之一。这些系统通常不能完全满足经典比较原理使得单调动力系统理论不易使用，同时系统耦合性使得对于满足比较原理的系统也无法构造出一些需要的不等式（例如上下解），此外空间区域的无界性也往往导致一些研究困难（例如与紧性有关的估计）。本项目借助于动力系统、非线性分析等理论研究非拟单调多稳定态扩散系统的空间传播问题。在应用单调动力系统理论得到一些简单估计的基础上，结合谱分析、压缩矩形等工具研究这类系统更加细致的空间传播问题。主要的研究内容包括行波解的最小波速、存在性、不存在性以及稳定性，并对渐近传播速度、解的收敛性进行估计。在这些研究中特别体现出时滞和非线性项所发挥的重要作用以及复杂性，并利用这些结论解释一些自然界中的问题，例如由非线性项所描述的不同物种之间相互作用对于空间传播的影响。

我们将广义上下解、压缩矩形思想引入一般扩散系统的行波解研究中，并结合经典Fisher方程的渐近传播理论，给出了若干经典系统的行波解存在性、不存在性以及渐近行为。特别指出的是，将压缩矩形思想引入行波解研究是本项目的重要特色之一。据我们所知，是我们首次运用该容易验证的条件给出一些系统的行波解渐近行为。在渐近传播研究中，通过使用广义特征值（谱理论）、上下解，对于经典竞争、合作系统的渐近传播速度进行了估计，所得结果体现了非线性项的非平凡作用。此外,对于非合作系统,也尝试使用没有单调性的行波解描述了其对应初值问题的长时间行为。上述工作对于申请书中提出的主要问题进行了研究，申请书中所提到的一些主要研究思路也被成功应用于具体问题的解决中。这些研究结果已经发表在《J Dynam Diff Eqns》、《Physica D》、《Eur J Appl Math》、《Nonlinear Anal》等学术期刊的9篇论文中。因此，在理论研究环节已经完成了预定研究计划。同时，还依托项目进行了人才培养、学术交流，我们的研究工作的深入和推广也得到后续科研项目的资助（2015年开始执行）。