具有好的分次的某些无限维李代数的结构和表示及相关课题

无限维李代数的结构和表示及相关问题与数学物理等学科的许多领域密切相关，一直是基础数学研究的重要领域。本项目主要讨论某些好的分次的无限维李代数的结构和表示问题，特别研究推广的Z/2阶化的无限维李代数W(a,b)的结构和表示问题，确定它的二阶上同调以及导子代数、自同构群等，并进一步考虑与之有关的不动点代数及它们的一些子代数的结构问题。另一方面构造它的Verma模，讨论它的不可约性及不可约表示的分类等。还研究一些Extended Affine 李代数（包括toroidal代数等）的顶点表示，包括顶点表示的存在性、构造及分类等。对一些相关的Block型、weyl形等单李代数的Verma模进行讨论和研究。同时也对相关的Leibniz代数进行研究，一般性地对高维Leibniz代数分类问题进行讨论，同时也对Leibniz超代数和Steinberg-Leibniz超代数的上同调进行讨论和研究。

李代数的结构和表示及相关问题与数学、物理等学科的许多领域密切相关，因而一直是基础数学研究的重要领域。在被深入系统研究的几类无限维李代数中，仿射型Kac-Moody李代数（简称仿射李代数）由于其与有限维单李代数及数学、物理的众多分支的密切联系，从七十年代至今一直是李代数研究的最活跃领域之一。另一方面，Witt代数和Kac-Moody代数密切相关，在2维共形场论中扮演了重要角色。它的非平凡的一维中心扩张是Virasoro代数，很多作者如Kac、Dokvic、及文献[36-39]等对这类代数进行了研究和推广，产生出很多新的无穷维李代数。. 本项目首先解决了其中一种推广的无限维李代数 the original deformative Schrodinger-Virasoro algebras的部分结构问题，给出了它的导子代数和自同构群；其次研究了Nappi-Witten 李代数的Verma 模的结构，给出了它的顶点算子表示和对某些扭的仿射Nappi-Witten李代数的水平非零的不可约伪有限模进行了分类；还对Virasoro-like代数的自同构下的不动点子代数Klein-bottle李代数进行了研究，对它的不可约最高权模进行了刻画；讨论了它的Verma模的不可约性，并对它的Harish-Chandra模进行了分类，得到它的非平凡中心的Harish-Chandra模同构于一个最高权模或一个最低权模。. 本项目也对相关的结合代数Ag,n(V) 的双模和扭表示进行了部分探讨和研究，包括它们的一些结构问题以及它们与编织算子之间的联系。特别我们计算了V_ L2^ A4的fusion rules.. 相关结果已经或即将发表在Sci杂志J. Alg.、JMP、Comm. Alg.、Science China等上面。