基于偏微分方程和非局部方法的图像处理模型研究

The research project mainly study the image processing problems based on partial differential equations and nonlocal methods. The research includes two aspects: On one hand, we will introduce and employ the region homogeneity measure operator which behaves the nonlocal properties to the anisotropic nonlinear diffusion partial differential equations for image processing. According to the different applications and requirements in image processing, we will develop different kinds of improved models by selecting parameters and controlling the diffusion functions, in order to achieve a good trade-off between noise removal and edge preservation. On the other hand, considering the advantages of fractional differential equations being better for texture images processing and the region homogeneity measure operator is not sensitive to the noise, we will study the combined methods, establish the basic mathematical models and improve them for image processing, especially for the medical images. We will also analyze these models and reach the compromise among noise removal, texture maintenance and edge detection and extraction. This project also carries out some numerical simulation based on different models and parameters in these models in order to achieve better image processing effect, while analyzing mathematical theory for the proposed models. The main innovation of this project is to use region homogeneity measure operator and fractional differential equations to deal with the actual image problems, which coincides with the popular ideas of using nonlocal neighborhood filters algorithms for image processing in recent years.

本项目研究基于偏微分方程和非局部方法的图像处理问题。主要研究内容如下：首先，将具有非局部性质的一致锐度算子嵌入到各向异性的非线性扩散方程进行图像处理，针对不同图像处理的实际需求，通过选择参数及扩散控制函数，建立不同的改进模型，希望能在有效控制噪音的同时也能够很好地保持边界信息；其次，将一致锐度算子和分数阶偏微分方程相结合，充分利用分数阶偏微分方程处理纹理丰富的图像非常有效的优点与一致锐度算子对噪音不敏感的特点，寻求合适的方法，使其在噪音有效控制、纹理保持和边界检测与提取等方面达到一致，建立、改进和完善图像（特别是医学图像）处理模型。本项目在对如上问题进行数学理论研究的同时，将针对不同参数配置的模型进行数值模拟，以期达到更好地图像处理效果。本项目的特点是用一致锐度算子和分数阶导数算子这样的非局部方法来处理实际图像问题，这和国际上近年来关于非局部邻域滤波处理图像的非局部思想是相似的。

目前，用偏微分方程理论和非局部方法来建立图像模型，并进行处理和分析所建立的图像模型，已经成为国际该研究领域的热点问题，本项目研究并追踪这一课题，深入研究其数学方法，丰富其数学理论，针对一些实际问题，建立合适模型，完成算法设计与实现。一方面，本项目主要对相关的一些偏微分方程如分数阶扩散方程、分数阶Zakharov方程、Ginzburg-Landau方程、GKS-CGL方程、KS-CGL方程等模型采用非局部分析的思想，进行了细致深入的研究，这些研究不仅丰富了偏微分方程理论，并为本项目选择合适的图像处理模型的研究提供了很好的理论支持。研究内容包括解的存在唯一性，解的极限行为，解的长时间行为，光滑解存在的BKM准则，随机扰动下方程解的存在唯一性等问题，进一步丰富了偏微分方程理论，也为图像处理的模型研究提供了坚实的理论基础。由于分数阶微分算子是非局部的，具有良好的“遗传”性质，对一些具有分数阶微分算子的偏微分方程，本项目也进行了初步的尝试，如对关于时间分数阶的扩散方程以及分数阶Zakharov方程等进行了研究，证明了方程解的存在性和唯一性，并考虑了解的正则性问题，进一步完善了相关的数学理论，并为分数阶数值计算提供了有力的理论支持，同时也为图像处理模型的研究提供了一种新的思路和方法。另一方面，本项目开展了对一些实际问题的图像处理以及数值模拟的研究工作，完善了相关模型的数值计算理论和图像处理算法，完成相应的算法设计与实现，取得较好的结果。如，针对实际医学问题如核磁共振成像的头部肿瘤图像，运用辐射传输方程和光学层析成像算法，对其进行了研究。目前基于辐射传输方程的光学层析图像重建算法的研究，主要是研究吸收系数和散射系数对光的辐射强度的影响，折射率和散射相函数这两个参数对光的辐射强度的影响考虑较少，而折射率和散射相函数对光的传输起到重要的影响，我们在研究实际医学问题如核磁共振成像的头部肿瘤图像，运用辐射传输方程和光学层析成像算法，不仅考虑了吸收系数和散射系数，还特别考虑了在研究光学层析成像重建算法时将折射率考虑进去，建立更符合实际，更完善的重建算法，并取得较好的结果。