区组设计的旗传递自同构群

This project is a intersect subsect for group theory and combinatorial design theory, imainly based on the theory of finite permutation groups and the theory of balanced incomplete block designs, to study the classification of non-trivival 2-design with highly symmetric properties and its automorphism groups. The project will mainly discuss several problems as following: .(1) We will study the flag-transitive automorphisms of 2-designs with small block size, and establish the new theory and method to classifying 2-design and its automorphism groups, and improving the related conclusion;.(2) We will consider the problems on 2-design admitting finite simple group as its automorphism group, and establish new ways to analyze the finite simple groups; .(3) We will study the classification of 2-design with a block-transitive point-primitive automophism group of product type which make up the shortcoming of research on flag-transitive point-primitive case. . The implement of this reaeach will help us to obtain new 2-designs and understand the stucture of automorphism groups of 2-designs with small block size, and it will be doubtless to widen and develop the theory of group theory and block design theory and its application.

本项目是群论和组合设计理论的交叉课题，主要是基于有限置换群和平衡不完全区组设计理论，研究具有高度对称性非平凡2-设计的分类及其自同构群的结构问题。主要包括：.（1）研究具有较小区长的旗传递2-设计的自同构群，建立2-设计及其自同构群分类的新理论和方法，改进相关的研究；.（2）研究2-设计的自同构群为有限单群的分类问题，建立分析有限单群的新途径；.（3）研究2-设计的自同构群为区传递点本原群时的分类，弥补只考虑旗传递点本原情况的不足。. 本项目研究内容的实现有助于了解较小区长下的2-设计的自同构群的结构，有助于我们获取新设计，必将丰富群论与组合设计理论及其应用。

一、项目的背景：组合设计与群论有密切的关系。 通过置换群作用在组合设计上, 一方面有利于我们更好地理解置换群的结构和性质。 另一方面, 利用群的结构来研究组合设计不仅能了解设计的性质, 甚至可以知道它的构造。 群作用在组合设计上的特征主要是通过传递性来表现的, 比如区传递、旗传递、点本原、点非本原等。 研究具有这些性质的组合设计是一项非常有意义的工作。.二、主要研究内容：本项目主要是分类旗传递非对称2-设计，以及研究其相应自同构群的结构。 包含两个内容：.1， 利用有限单群分类定理研究不同单群作用在满足特定条件的2-设计上。一方面，由此可以获得新的2-设计，从而为我们寻找新的设计提供了另外的途径；另一方面，可以得到相关单群许多子群结构，为我们学习单群结构提供了很好的方法。.2，突破只考虑对称设计或线性空间的束缚，从其他条件入手，来完全决定此类具有旗传递性的2-设计。具体如自同构群的旗传递性减弱为区传递性等。 或者研究区长较小的非对称2-设计的旗传递的同构群的性质与结构。.三、重要结果：1.研究了具有区传递性且区长较小2设计的自同构群与结构分类问题。利用自同构群具有区传递性以及设计结构的区长较小的性质，把自同构群的结构.进行规约，主要是区长为3和4时的本原自同构群的情况。其结果发表在国际著名期刊Discrete Mathematics上。2.研究了满足(r,lambda)=1时的旗传递2-设计的分类问题。主要集中在点本原的几乎单型的情况。完全分类了自同构群为3维特殊射影线性群的情形。其相关成果以论文的形式发表在国际著名期刊Finite Fields and Their Applications和Monatshefte für Mathematik上。利用旗传递线性空间的性质构造了两类无限族的旗传递2-设计，为寻找新的设计提供了新思路和新方法。其相关结果发表在国际著名期刊Journal of Combinatorial Designs和广西师范大学学报上。