平均场双重随机系统的最优控制理论及其在金融中的应用

This project aims to intensively study mean-field doubly stochastic systems, solving a series of important theoretical problems, especially the related stochastic optimal control problem. Under non-Markovian conditions, the basic theories of existence, uniqueness of solution to mean-field backward doubly stochastic differential equations are obtained and the relations with nonlocal path-dependent stochastic partial differential equations are given. Under non-Lipschitz conditions, the basic theories of mean-field forward-backward doubly stochastic differential equations are obtained and the relations with nonlocal stochastic partial differential equations are given. On the assumption that the control domain is convex or not convex, the maximum principle and sufficient condition for optimal control of mean-field forward-backward doubly stochastic systems are obtained, and applied to optimal control of mean-field linear-quadratic doubly stochastic systems and optimal control of the related nonlocal stochastic partial differential equations. Under partial information, the maximum principle and sufficient condition for optimal control of mean-field forward-backward doubly stochastic systems are obtained, and applied to optimal control of the related nonlocal stochastic partial differential equations. Non-zero sum differential game of mean-field backward doubly stochastic systems is studied. The necessary condition in the form of maximum principle with Pontryagin’s type for open-loop Nash equilibrium point of this type of game and the verification theorem which is a sufficient condition for Nash equilibrium point are obtained.

本项目旨在深入研究平均场双重随机系统，解决平均场双重随机微分方程理论中的一系列重要的理论问题，特别是其相应的随机控制问题。研究非马尔科夫平均场倒向重随机微分方程解的存在唯一性理论，并建立与路径依赖非局部随机偏微分方程的经典解或粘性解的联系。在非 Lipschitz 条件下，建立平均场正倒向双重随机微分方程的基础理论，以及和非局部随机偏微分方程的经典解和弱解 (Soblev 弱解和粘性解) 的联系。在控制域为凸或非凸的情形下，建立完全耦合的平均场正倒向双重随机系统最优控制问题的最大值原理和最优性的充分条件，并应用到平均场线性二次最优控制问题和非局部随机偏微分方程的最优控制问题。在部分信息下，建立完全耦合的平均场正倒向双重随机系统最优控制问题的最大值原理和最优性的充分条件。研究系统为平均场倒向双重随机微分方程的非零和微分对策问题，获得开环 Nash 均衡点存在的必要性和充分性最优性条件。

本项目深入研究了平均场双重随机系统，解决了平均场双重随机微分方程理论中的一系列重要的理论问题，特别是其相应的随机控制问题。研究了非马尔科夫平均场倒向重随机微分方程解的存在唯一性理论，建立了与随机偏微分方程的经典解的联系。建立了平均场正倒向双重随机微分方程的基础理论，以及和非局部随机偏微分方程的经典解的联系。建立了完全耦合的平均场正倒向双重随机系统最优控制问题的最大值原理和最优性的充分条件，并应用到了平均场线性二次最优控制问题。在部分信息下，建立了完全耦合的平均场正倒向双重随机系统最优控制问题的最大值原理和最优性的充分条件。研究了系统为平均场倒向双重随机微分方程的非零和微分对策问题，获得了开环 Nash 均衡点存在的必要性和充分性最优性条件。