伪代数及表示的相关问题的研究

本课题主要研究定义在伪张量范畴上的伪代数，包括伪李代数、伪Leibniz代数、伪左对称代数和伪结合代数。主要研究伪李代数和伪结合代数的表示；研究与伪李代数相关的其它伪代数，解决伪n-Lie代数、伪Leibniz代数分类以及一些结构方面的性质，探索伪李代数的伪左对称代数结构和伪左对称代数的在顶点算子代数等其他代数研究中的作用；进一步研究伪张量范畴一些性质，探索伪结合代数中的Morita定理；利用伪张量范畴来研究广义路代数、Cluster代数、Calabi-Yau代数以及与Calabi-Yau流形相关的数学物理问题；在李群李代数表示O 范畴中引进伪张量范畴结构，利用伪张量语言刻画对称空间中的一些不变量。本课题的研究不仅拓宽原有的代数研究领域，而且为传统代数的研究提供了新途径。

伪代数定义在伪张量范畴上的一类多参数共形代数. 伪代数与无限维李代数及数学物理等有紧密联系， 它们的研究是当前国内外十分活跃的数学研究领域之一. 本项目主要研究了伪李代数、伪结合代数以及与伪李代数相关的其它伪代数如伪左对称代数和伪Leibniz代数等结构及其表示，研究了它们的上同调性质及其应用；构造了一类由双参数量子群所确定的O范畴，用该范畴刻画了双参数量子群结构并给出了张量范畴在伪代数中的应用； 研究了一类量子包络代数借助Hopf代数扩张得到的Hopf代数； 刻画了某些Cluster代数及路代数的上同调群的李代数结构. 本项目的研究涉及到众多基础数学知识，且与理论物理相沟通，对促进我国现代数学和其它学科的发展具有重要意义.