一类由分数噪声驱动的随机热方程的分析与渐近行为研究

This project aims to study the sample path properties, asymptotic behaviors and related stochastic analysis problems for a class of stochastic heat equations driven by fractional noise. Firstly, we will study the stochastic heat equations driven by fractional-white noise in the pathwise and Skorohod sense respectively. The existence, uniqueness, regularity, weak convergence, Chung's law of the iterated logarithm, local time, parameter estimation, large deviation, smoothness of the density，absolute continuity amd asymptotic properties of the solutions will be considered. Finally, the stochastic fractional heat equations driven by fractional-colored noise will be studied under the noise is additive, multiplicative, and nonlinear conditions respectively, we will also consider the existence, uniqueness, regularity, stability, local time, smoothness of the density，asymptotic properties of these solutions.

本项目旨在研究一类由分数噪声驱动的随机热方程解的样本轨道性质、渐近行为以及与之相关联的随机分析问题。首先在轨道型和散度型积分下研究分数-白噪声驱动的非线性随机热方程解的存在唯一性、正则性、弱收敛性、重对数律、局部时、参数估计、大偏差、密度的光滑性、绝对连续性、渐近行为分析等。最后在可加噪声、乘积噪声和非线性情形下研究分数-彩噪声驱动的分数阶非线性随机热方程解的存在唯一性、正则性、稳定性、局部时、密度的光滑性、渐近性等。

近年来，分数噪声驱动的随机偏微分方程已经成为重要的研究课题，主要原因是其在流体力学、控制科学、数理金融、电子通讯、互联网等诸多领域有着广泛的应用。. 根据项目申报书的主要研究内容和预期的研究目标，本项目重点研究了分数噪声驱动的随机热方程解过程的样本轨道性质和渐近行为分析。我们建立了可加分数噪声驱动的随机热方程解过程的弱收敛性和碰撞与相交局部时的存在性条件。同时，我们得到了由乘积分数噪声驱动的分数阶随机热方程解过程的渐近性质。进一步地，我们给出了多参数分数布朗单的鞅差逼近和随机游走逼近结果。最后，我们建立了复值分数 Ornstein-Uhlenbeck 过程漂移系数的最小二乘估计。