动力系统的随机摄动与渐近性行为

We will study the following issues in this project. 1) Study the characteristic property of Morse decomposition for infinite dimensional random dynamical systems, which will enable us to understand well the inner structure of random attractors. 2) Study Conley index theory for time continuous random dynamical systems, which can help us study dynamical problems such as the existence of randon invariant set and the connecting orbits between different random invariant sets, etc. 3) Study stationary measure and limit invariant measures for diffusion processes. To this end, we need to investigate existence, uniqueness, nonexistence of stationary Fokker-Planck equations and the limit of stationary measures when the diffusion goes to zero. These results will be used to study stochastic bifurcations, which will enrich the existing studies in this field. 4) Study the existence and ergodicity of recurrent solutions of stochastic partial differential equations with recurrent coefficients and the limit measures when the intensity of stochastic perturbation converges to zero, which will enable us to understand better the dynamics of stochastic partial differential equations.

在此项目中，我们拟研究以下几方面内容：随机无穷维动力系统Morse 分解的特征性质，对此问题的研究可使我们对随机吸引子的内部结构了解地更加清楚；时间连续的随机动力系统的Conley 指标，它可以帮助我们研究随机不变集的存在性以及不同随机不变集之间的连接轨道等动力学问题；扩散过程的平稳测度问题及极限测度问题，这需要研究其满足的稳态Fokker-Planck 方程解的存在性、唯一性与不存在性，以及当Fokker-Planck 方程最高阶系数趋于零时，其平稳测度的极限测度问题，并将得到的结果应用到随机分支问题的研究中去，这将丰富目前关于随机分支的研究；具有回复性质系数的随机偏微分方程的随机回复解的存在性及遍历性，以及随机偏微分方程的极限测度，这将加深我们对随机偏微分方程动力学性质的理解。

在项目执行期间，我们研究了随机无穷维动力系统和非自治动力系统Morse 分解的特征性质，使我们对随机吸引子/非自治不变集的内部结构了解地更加清楚；研究了扩散过程的平稳测度及其极限测度问题，具体地对稳态Fokker-Planck 方程解的存在性、唯一性与不存在性，以及当Fokker-Planck 方程最高阶系数趋于零时，其平稳测度的极限测度问题进行了研究；研究了具有概周期和几乎自守系数的随机偏微分方程的概周期解和几乎自守解的存在性、唯一性与渐近稳定性等问题，这使得我们更好理解随机偏微分方程的动力学。