流固耦合反问题中弹性固体的结构性质研究

The fluid-solid interaction problem has received much attention in the engineering literature. Based on the rapid development of inverse scattering theory, we propose to reconstruct properties (shape and mass density) of solid for the fluid-solid interaction problem, which will involve the calculation of interior fluid-solid transmission eigenvalues. The project will focus on theoretical analysis, numerical method development and algorithm analysis. In summary, this project has three parts. Firstly, reconstruct the shape of inhomogeneous solid from the far field pattern of the scattered field. Secondly, calculate the interior fluid-solid transmission eigenvalues by a iterative method and inverse method from the far field pattern of scattered field, respectively. Thirdly, estimate the mass density of solid based on the least transmission eigenvalue. Research of this project is the extension in breadth and the development in depth of the inverse fluid-solid interaction theory. It will provide sound theoretical foundation and efficient algorithms tool for engineering science research, such as nondestructive materials testing, radar, geological exploration and medical diagnostics, and so on.

本项目以工程科学领域广泛关注的流固耦合问题和在应用数学领域快速发展的波动方程逆散射理论为研究基础，围绕流固耦合反问题中弹性固体的结构性质（形状和质量密度）重构展开研究，设计数值算法，并对相应的算法进行必要的理论分析；其中还涉及内部流固耦合传输特征值的计算与分析。整个课题拟从三个方面展开研究工作：一、利用互异法和分解法，通过流体介质中声波散射场的近场或远场模式重构非均匀弹性固体的形状；二、迭代法直接求解和利用声波散射场远场模式间接重构内部流固耦合传输特征值；三、利用最小传输特征值估计弹性固体的质量密度。此项目的研究是当前流固耦合反问题的数学理论研究在广度和深度上的延伸和发展，成果可为材料无损探伤，雷达，地质勘探和医疗诊断等工程科学领域的研究提供坚实的数学理论和有效的算法工具。

本项目以流固耦合问题中的流体介质声波的散射和弹性介质中弹性波的散射研究为切入点，进而完成流固耦合反问题中弹性体的性质结构研究（包括形状重构和介质参数重构）。本课题首先围绕着声波和弹性波的反散射分别展开研究工作，然后统一到声波弹性波的耦合问题上。经典反散射问题多以形状重构居多，在本项目中，我们既探讨了散射体的形状重构方法（如互异法，基于区域导数的优化法等），又考虑了利用多频的近场数据重构散射体的密度等多介质参数的反演。有关弹性散射体的介质参数反演是该领域内较新的研究成果，它为反散射理论的深入研究奠定了一定的研究基础。另一方面，我们考虑了散射问题中衍生的传输特征值问题，从理论分析和数值算法两方面展开探讨研究，提出来了求解传输特征值的谱投影方法、间断伽辽金方法及边界积分方程和有限元的耦合方法。有关传输特征值的研究成果对于反散射理论的深入研究具有重要指导意义。在上述工作的基础上，我们分析了流固耦合反问题中弹性体的形状重构，建立相应的声波和弹性波的耦合问题，利用边界积分方程和有限元的耦合方法求解正问题，利用区域导数建立优化方法重构弹性体的形状。