虚拟元方法在多孔弹性介质与自由流耦合问题中的研究

The virtual element method is a novel technology for the discretization of partial differential equations with the same variational background as the finite element method. And it not only allows the use of polygonal meshes, including non-convex, hanging point, curved-edge meshes, etc., but also can exactly realize certain conditions of the solution, such as incompressibility, arbitrary C^k regularity and so on. However, because this method can not directly calculate the numerical integration on the interface, it faces enormous challenges in solving the coupling problem. Therefore, considering the advantages of the virtual element method in solving the elastic deformation problem and the viscous incompressible flow problem, this project takes the coupling problem of poroelasticity and free flow as the starting point and carries out the theoretical and applied research on the virtual element method. Specifically, it is to realize the virtual element processing of the BJS interface from the coupling problem of porous medium flow and free flow. At the same time, this project studies the virtual element method for the poroelasticity Biot strong coupling model and constructs different computable discrete schemes that can eliminate non-physical oscillations by using two strategies. Finally, the difficulty of the virtual element method at the elastic-deformation coupling interface is solved, and the virtual element stability analysis and optimal error estimation for the coupling problem of poroelasticity and free flow are given, thus enriching the coupling theoretical system of the virtual element method and realizing the simulation and prediction of blood flow in blood vessels.

虚拟元方法是与有限元方法具有相同变分背景的一种偏微分方程离散化新技术。它不仅允许使用多边形网格，如：非凸、悬挂点、曲边网格等，而且能够准确实现解的某些条件，如：不可压缩性、任意C^k正则性等。但因该方法不能直接计算交界面上的数值积分，导致其在求解耦合问题时面临巨大的挑战。因此，本项目在考虑弹性形变问题和粘性不可压流问题虚拟元求解优势的基础上，以多孔弹性介质与自由流耦合问题为切入点，进行虚拟元方法的理论与应用研究。具体来说，就是从多孔介质流与自由流耦合问题出发，实现BJS交界面的虚拟元处理。同时，研究多孔弹性Biot强耦合模型的虚拟元方法，使用两种策略构建能够消除非物理振荡的可计算离散格式。最终，解决虚拟元方法在弹性形变耦合交界面处存在的难点，给出多孔弹性介质与自由流耦合问题的虚拟元稳定性分析和最优误差估计，从而丰富虚拟元方法的耦合理论体系，并实现血管血液流动的模拟和预测。

作为与有限元方法具有相同变分背景的一种偏微分方程离散化新技术，虚拟元方法通过选取合适的自由度和可计算的投影算子，避免离散空间上形状函数的显式表达，进而允许网格构建的自由性（即允许使用一般多边形网格/多面体网格和非凸、悬挂点、曲边等非常规网格）以及解的某些条件的准确实现（如：不可压缩性、任意C^k正则性、无闭锁现象等）。但因该方法不能直接计算交界面上的数值积分，导致其在求解耦合问题时面临巨大的挑战。因此，本项目以多孔弹性介质与自由流耦合问题为切入点，进行虚拟元方法的耦合理论分析与实际应用模拟。首先，提出多孔介质流-自由流耦合问题的虚拟元方法，通过定义合理的局部H^1和L^2投影算子，实现网格匹配/不匹配情况下BJS耦合交界面的虚拟元处理，保证离散格式的可计算性、inf-sup稳定性及其数值解的最优误差收敛性。其次，扩展研究粘性不可压流问题的两种无散度非协调虚拟元方法，一种是基于经典的非协调虚拟元方法，通过合理定义投影到H(div)虚拟元空间的可计算重构算子，建立非线性项、右端项和对偶积基于检验函数重构的新型虚拟元离散格式，并利用重构速度的散度与速度散度投影之间的交换图关系，实现速度最优误差估计与压力的无关性。另一种是利用局部无散度向量场，以直和的方式对H(div)虚拟元局部空间进行扩展，并通过选取合适的虚拟元全局空间和自由度，实现虚拟元离散格式的构建、稳定性和最优误差的分析。再次，给出经典三场多孔弹性Biot模型的连续-混合虚拟元方法和无压力振荡、无体积自锁的非协调-混合虚拟元方法，并提供两种思路（即代数和微分方程基本理论）证明协调虚拟元离散格式的适定性，建立离散korn不等式证明非协调情况下的适定性，同时导出任意存储系数下的最优误差估计。最后，通过继承以上子问题的研究结果并利用Lagrange乘数法处理质量守恒交界面，完成多孔弹性介质-自由流耦合问题的虚拟元分析及数值模拟。本项目为偏微分方程新型离散化技术，尤其是虚拟元方法，带来新的研究进展。