与Virasoro代数相关的两类无限维李代数的表示

The Virasoro algebra plays an important role in the infinite dimensional Lie algebra area. Here we mean to study two classes of Lie algebras related to the Virasoro algebra, one of which is a class of graded Lie algebras. A Lie algebra g in this class is isomorphic to a subalgebra of the algebra of derivations over a rational quantum torus, and contains a higher rank Virasoro subalgebra. When considering the classification of irreducible modules with finite dimensional weight spaces for the algebra D of derivations over a commuting torus, the higher rank Virasoro algebra builds a bridge between the algebra D and the Virasoro algebra. We notice that our Lie algebra g may play a similar part when considering the classification problem for the rational quantum torus case. For this algebra g, we compute its universal central extensions, construct its highest (lowest) weight modules and modules of intermediate series, and furthermore consider the classification of irreducible modules with finite dimensional weight spaces. The second class of Lie algebras we study is called fractional Virasoro algebras. The generating operators of these algebras are nonlocal, different to that of the Virasoro algebra, making the algebra more complex. We study its highest (lowest) weight modules and modules of intermediate series, and furthermore consider the classification of irreducible modules with finite dimensional weight spaces.

Virasoro代数在无限维李代数领域中占有重要的地位。本项目研究两类与Virasoro代数相关的无限维李代数。其中第一类是一类阶化李代数，这样的一个阶化李代数g同构于有理量子环面上导子李代数的一个子代数，且包含一个高阶Virasoro代数。高阶Virasoro代数在交换环面上导子李代数的权空间有限维不可约模的分类过程中扮演着至关重要的角色，而我们观察到要研究有理量子环面上导子李代数的权空间有限维不可约模时，扮演类似角色的李代数就是阶化李代数g。对李代数g，本项目的研究包括计算其泛中心扩张，构造相应的中间序列模、高低权模，并探讨其权空间有限维不可约模分类的可能性。本项目研究的第二类李代数称为分式Virasoro代数，它的结构较Virasoro代数更复杂，而且生成元算子是非局部的。本项目研究分式Virasoro代数的中间序列模、高低权模，并探讨其权空间有限维不可约模分类的可能性。

Virasoro代数在无限维李代数的研究领域内有极其重要的地位和应用，它的表示理论也相对比较成熟。因此Virasoro代数的很多推广李代数自然得到大家的关注。本项目计划研究两类Virasoro代数的推广李代数的结构和表示，一类是有理量子环面上的solenoidal李代数，另一类称为分式Virasoro代数。.有理量子环面上全导子李代数一直备受关注，主要集中点上是其Harish-Chandra模。交换环面作为最简单的一类有理量子环面，其全导子李代数的不可约Harish-Chandra模的分类工作最近由Billig和Futorny完成。我们希望沿用他们的主要想法去分类有理量子环面上全导子李代数的不可约Harish-Chandra模，其中就需要研究有理量子环面上的solenoidal李代数和gap-p Virasoro代数的表示。在本项目中我们完全分类了gap-p Virasoro代数不可约Harish-Chandra模，刻画了有理量子环面上solenoidal李代数和全导子李代数的权空间维数一致有界的不可分解模的结构，为将来分类全导子李代数的不可约Harish-Chandra模做了很好的铺垫工作。.Virasoro代数在共形场理论中实现出来的算子都是局部的，但是现实中很多问题涉及到的流算子却是“非局部”的。分式Virasoro代数就是Virasoro代数从这个意义上的推广。本项目研究分式Virasoro代数的Harish-Chandra模。可惜我们并没有得到令人满意的结论。.另外，本项目还有一个计划外的研究内容，广义形变Heisenberg-Virasoro代数的结构和表示。这是一类新兴的李代数，推广了形变Heisenberg-Virasoro代数和广义Heisenberg-Virasoro代数。我们给出了该李代数的自同构、导子，泛中心扩张及其Verma模不可约性的判定，为广义形变Heisenberg-Virasoro代数表示的研究开启了第一步。