泛函微分方程中小分母问题的研究

We will research the existence and persistence of quasi periodic solutions for retarded and neutral functional differential equations,especially for delay differential equations with proper degeneration that the linear system has multiple characteristic roots or zero roots. We will also investigate the reducibility of linear delay differential equations with quasi periodic coefficients, which are reduced into constant linear systems,or of which the location of characteristic exponents is precisely stated. These results are related to Floquet theory for periodic systems and can be used to discuss the stability and persistence of quasi periodic solutions in nonlinear delay differential equations. Quasi periodic bifurcations of delay differential equations will be studied by KAM theory.The investigation into these problems involves small denominators. Since the solution space of functional differential equations is the continuous function space,and the characteristic equations are super-function ones, some new difficulties will be met when we deal with small denominators by KAM theory and techniques. Moreover, it is very rare for results on listed problems above. The research results of this project may make KAM theory and techniques a better extension, and will enrich the theory of functional differential equations.

研究时滞型和中立型泛函微分方程拟周期解的存在性与持久性问题，对时滞微分方程，我们的研究重点将放在线性部分具有重特征根和零特征根等这些有某些退化性的情况。研究具有拟周期系数的线性时滞微分方程的约化问题-约化为常系数线性系统或分析特征指数的分布，这些研究类似于周期线性系统的Floquet理论的研究，也有助于研究非线性时滞微分方程拟周期解的稳定性和持久性等问题。运用KAM理论研究时滞微分方程由平衡点产生的拟周期解和从拟周期解产生的分支等这些拟周期分支。所有这些研究内容涉及到小分母的处理，由于泛函微分方程的解空间结构的特殊性和特征方程是超越函数方程，在运用KAM理论和技术研究泛函微分方程中这些与小分母有关的问题时会出现一些新的困难需要克服，而且对泛函微分方程的这些研究才刚刚开始。通过本申请项目的研究可进一步发展KAM理论和技术，也能丰富泛函微分方程的理论。这些研究具有重要的理论意义。

我们使用KAM理论严格地证明了在解析四维常微方程系统的双Hopf分支理论中，在适当的条件下对截断正规形有2-维或3-维拟周期不变环面存在的参数中的大部分，原系统也存在2-维或3-维拟周期不变环面；我们利用解析逼近理论对具有多重退化性的有限光滑动力系统建立了一个KAM定理，并把所获得的结论应用于时滞微分方程的多重Hopf分支和多重Hopf-Zero分支中，给出了截断正规形拟周期不变环面持久的充分条件，这些条件是通过截断正规形的系数给出的，便于验证。研究了当常微分方程和时滞微分方程具有椭圆退化平衡点（即有零特征值）时拟周期解的存在性问题，并且我们把所获结果应用于时滞van der Pol 振子这个具体模型获得了其拟周期解的存在性。我们比较系统地研究了偶合振子（包括具有时滞的）拟周期解的存在性：研究了单摆方程拟周期不变环面的存在性问题，证明了具有拟周期外力作用的单摆方程拟周期解的存在性，从理论上证实了一些文献中的数值模拟现象；研究了van der Pol-Mathieu-Duffing（PMD）方程4-维拟周期解不变环面的存在性问题，证明了对大部分的频率参数，PMD方程存在4-维拟周期不变环面；研究了2-3个耦合van der Pol 方程拟周期解的存在性问题，证明了对（Lebesgue 测度意义下的）大部分参数，在极坐标表示下的平均系统的不变2-或3-维环面附近，原系统也存在相应维数的不变环面等。研究了广义Gopalsamy时滞神经网络的双Hopf分支中拟周期不变环面的存在性和时滞双向联想记忆神经网络模型的Hopf分支和双Hopf分支等问题；研究了带参数激励的Josephson系统当参数变化时，动力学行为的变化情况，通过Melnikov方法，给出了在周期扰动下系统产生混沌的条件以及在未扰动中心附近的谐波解的存在性和分支。我们还研究了Poschel的无穷维KAM定理中扰动大小和环面维数之间的关系、具有奇异位势的Schrodinger方程拟周期不变环面的存在性、具有Anharmonic势的相对论振子周期与拟周期解的存在性等。.所有这些研究内容涉及到小分母的处理，特别是分支理论中拟周期不变环面持久性这一部分研究内容还涉及到退化性和只有有限光滑性，使得研究更为困难。通过本项目的研究进一步发展KAM理论和技术，以及应用范围，具有重要的理论意义。