泛函微分方程边值问题的变分法

本项目将运用变分方法讨论泛函微分方程边值问题的可解性. 对于具有周期边界条件和非对称及对称混合边界条件, Neumann边界条件, Sturm-Liouville边界条件下的非线性滞后性和中立型微分方程边值问题建立变分基本原理, 确定所讨论方程对应弱解的定义和能量泛函空间, 在此基础上将临界点理论应用到这类边值问题中, 包括极值定理, 山路定理, 鞍点定理和Morse理论等, 建立解的存在结论, 刻画出时滞和边界条件带来的影响.进一步利用三临界点定理和指标理论等讨论多个解及无穷个解的存在性. 通过对能量函数空间的调整,结合延拓思想和算子理论, 用临界点理论研究奇异泛函微分方程边值问题. 用变分法讨论泛函微分方程边值问题刚刚起步, 属于该领域前沿课题. 本项目可拓宽边值问题的研究方法, 并推广应用变分方法和临界点定理,作出创新性成果.

本项目主要运用变分法和上下解方法研究了二阶微分系统，三阶微分系统和高阶微分系统解、正解和多个解的存在性；研究了微分方程数值解、差分方程边值问题和代数系统解存在性；研究了非自治哈密顿系统周期解，kT周期解和次调和解的存在性。.（1）首次研究了无穷区间上二阶微分方程Sturm-Liouville边值问题的无界上下解问题，得到了解和多个解的存在性结论。我们将无穷区间整体处理，建立一个特殊的Banach空间，把泛函的不动点等价于微分方程的解，利用截断技巧和不动点定理建立了可解性判别的充分条件。我们的工作发表在SCI源刊上。与以往结果相比：减弱了解有界或者正解的约束，允许上下解方法讨论具有一般边界的无穷区间问题，确定了无界解存在性。.（2）将无界上下解理论建立起来，应用研究了高阶常微分方程Sturm-Liouville边值问题和具有时滞的二阶微分方程边值问题无界解的存在性问题，得到至少1个解和3个解的存在的性判别结论。与此同时，指导学生利用该方法讨论了多点边值问题和p-Laplace边值问题的可解性。.（3）研究了一类二阶微分方程积分边界条件的数值解法。微分方程离散后对应代数系统的可解性问题，我们还研究了奇异代数系统正解存在的充分条件，研究结果首次针对代数系统的奇异问题开展。研究了二阶差分方程边值问题的可解性问题。.（4）运用临界点理论中的极小化原理研究了具有p-Laplace算子的非自治哈密顿系统周期解，kT周期解和次调和解的存在性。对于具有p-Laplace算子的二阶微分方程，首次定义出非线性微分算子的逆算子，结合对偶原理定义了能量泛函，然后利用扰动理论和极小值原理讨论了周期解的存在性，也建立了kT周期解和次调和解的存在性。. 在项目支持下，三年内共发表学术论文10篇，其中SCI源刊6篇，中文核心2篇，录用学术论文1篇，待出版中文专著一本。主持人指导4名研究生在该方向上开展研究工作。成功邀请了5名国内专家来校做学术报告，参加学术会议10余次，做学术报告3人次，项目主持人到美国TAMUK访问一年。