非光滑分析及其在最优控制中的应用

近些年来非光滑分析的理论研究取得了很大进展，能够有效地解决一些光滑优化难以解决的关键性问题。本课题将应用非光滑分析和最优控制理论等方法研究：用拟微分来逼近次微分从而构造非光滑最优化问题的优化算法，并用来求解聚类分析中的优化问题；用非光滑分析和微分包含分析分段光滑动力系统最优控制问题的最优性条件、算法设计以及不变集的判定准则。上述研究不仅能推动非光滑系统中许多关键问题的解决以及非光滑分析的发展，还可用于解决数据挖掘和工程中一些实际问题，因此本项目具有重要的理论意义和应用价值。

我们研究了带有集值约束的非光滑动力系统的的最优控制问题，集值约束包含了已有的等式不等式约束条件， 因而更一般化。已有的结论都要求等式不等式约束是光滑的且满足Mangasarian-Fromowitz condition（MFC）约束规格。针对上述问题，我们提出一个新的约束规格：Weak basic constraint qualification (WBCQ +Calmness。我们证明了WBCQ+Calmness约束规格比MFC的约束规格弱。我们得到了在WBCQ+Calmness约束规格条件下的最优控制问题的最优性必要条件。当微分包含是自治系统时，我们得到的结论所需的条件明显比经典结论的条件要弱。另一方面，针对对非线性动力系统关于初始时刻偏差的稳定性问题，我们利用向量Lyapunov函数和比较原理给出了几个判别准则，构造一个非线性动力系统验证了该判别准则对Lyapunov函数的要求比已有的结论要弱。 . 本项目的成果整理完成论文三篇，有两篇论文已经发表在Applied Mathematics and Computation和国际会议WCICA 2014上。还有一篇论文已投ESAIM: Control, Optimization and Calculus of Variations。