Pointed Hopf代数Calabi-Yau性质的研究

Calabi-Yau algebras arose in algebraic geometry. Now, they are experiencing a surge of popularity in different branches in mathematics, such as mathematical physics, representation theory, non-commutative algebras, etc.?We intend to study the Calabi-Yau property of pointed Hopf algebras. First, we will try to find the necessary and sufficient condition for a Hecke pointed Hopf algebra to be a Calabi-Yau algebra. Second, based on the obtained result and the facts about the Calabi-Yau property of Sridharan enveloping algebras and pointed Hopf algebras of finite Cartan type, we will study the PBW deformation and cocycle deformation of a pointed Hopf algebra. We will try to describe the comultiplication structure of a Calabi-Yau Hopf algebra.

Calabi-Yau代数起源于代数几何的研究。近些年来， Calabi-Yau现象在数学的各个研究分支中相继被发现, 使得Calabi-Yau代数正成为数学物理, 代数几何和非交换代数等领域中的一个热门研究课题。本课题希望将Calabi-Yau代数的研究和Hopf代数的研究相结合，将详细讨论pointed Hopf代数的Calabi-Yau性质。首先，我们将尝试给出Hecke型pointed Hopf代数是Calabi-Yau代数的充要条件。其次，以此为基础，并结合Sridharan包络代数和有限Cartan型pointed Hopf代数Calabi-Yau性质的相关结论，我们将讨论Calabi-Yau pointed Hopf代数的PBW形变以及cocycle形变，尝试刻画Calabi-Yau Hopf代数的余代数结构。

Calabi-Yau 代数起源于代数几何，如今已应用在数学物理，表示论等数学的不同分支。比Calabi-Yau代数更一般化的是扭Calabi-Yau代数。它和Calabi-Yau代数具有相似的同调性质，并且Calabi-Yau代数是扭Calabi-Yau代数的一个子类。本项目主要的研究成果有以下四点：一、证明了一定条件下，N-Koszul扭Calabi-Yau代数和扭Calabi-Yau Hopf代数的交叉积仍然是扭Calabi-Yau代数，并详细刻画了Nakayama自同构，推广了已有的关于smash积的Calabi-Yau性质的结论。二、证明了如果Hopf代数H的对极是双射，并且是扭Calabi-Yau代数，那么H的Hopf-Galois对象也是扭Calabi-Yau 代数，并且同样给出了Nakayama自同构的具体刻画。三、给出了扭Calabi-Yau Hopf代数的Morita-Takeuchi张量等价保持Calabi-Yau性质的一些充分条件。四、通过引入极大pointed Hopf子代数，刻画了非余半单Hopf代数的结构。本项目的研究成果为构造扭Calabi-Yau代数提供了多种新方法。关于Morita-Takeuchi张量等价下Calabi-Yau性质的研究一方面有助于分析Hopf代数结构在Hopf代数同调性质中所起的作用，另一方面为研究Hopf代数同调性质提供了一种较好的方法，一个Hopf代数的同调性质反映了和它Morita-Takeuchi张量等价的Hopf代数的性质。有关非余半单Hopf代数的结构的刻画有助于有限维非余半单非pointed Hopf代数的分类。