非交换量子场论的构造重整化理论

Quantum Field Theory defined on non-commutative geometric spaces, also called the Noncommutative Quantum Field theory (NCQFT) , is one of the leading candidates towards fully understanding the quantum gravity. It is a very active research area in non-commutative geometry and mathematical physics. Since experiments in NCQFT are far beyond the reach of current laboratory, defining non-commutative quantum field theory in a mathematically rigorous way and studying their mathematical properties are of crutial importance. The most important mathematical quantities in NCQFT are the Schwinger functions. Recently H. Grosse and R. Wulkenhaar defined a 4-dimensional NCQFT model, called the Grosse-Wulkenhaar model (or the GW model in short), in which the corresponding Schwinger functions are proved to be perturbatively analytic (also called perturbatively renormalizable) at all orders. In this project we define the 3-dimensional GW model and study the non-perturbative analytic properties and symmetric properties of the corresponding Schwinger functions. To be more precise, we will (1) prove that the Schwinger functions of the 3d GW model are analytic functions in the non-perturbative sense, with the method of constructive renormalization groups; (2) study the reflection-positive property of the Schwinger functions with the tools from functional analysis, probability and operator algebra. The key step of (2) is to prove the Markov property of the GW scalar fields. The goal of this project is to fully understand the mathematical structure of the 3-d GW model as well as to develop new theories and techniques in non-commutative geometry, non-commutative probability and constructive renormalization theory. It will be a key step towards deep understanding of other NCQFT models and their quantum-gravitational properties.

非交换量子场论是研究定义在非交换几何流形上的量子场的性质及其相互作用的理论，是研究量子引力的重要理论。由于目前无法通过实验验证这一理论的正确性，构造数学上有严格定义的理论模型并深入研究其数学性质就尤为重要。非交换场论中最重要的数学量为Schwinger函数。近年来Grosse和Wulkenhaar定义了一类非交换场模型(称为GW模型)，证明其Schwinger函数在微扰意义下为解析函数。本项目以3维GW模型为主要研究对象，研究其非微扰解析性、对称性等性质。具体内容包括：用构造重整化群的方法研究3维GW模型Schwinger函数的非微扰解析性质；用概率论的方法研究GW模型量子场的Markov性质，并在此基础上研究其Schwinger函数的反射对称性。本项目旨在深入研究3维GW模型的基本性质，发展新的理论及研究方法，为构造其他非交换场论模型并研究其量子引力性质提供数学基础。

量子引力是研究引力的量子效应的理论。非交换量子场论是研究量子引力问题的重要理论和研究方法，是当代理论物理的重要前沿领域。因此建立非交换量子场论的数学基础成为当代数学物理的重要问题。量子多体问题是当代凝聚态物理的重要理论和研究方法，是研究凝聚态系统中的金属-绝缘体相变的重要理论。其数学基础也是当代数学物理的重要前沿问题。我们可以用构造重整化群理论来研究这两类问题。在本项基金研究过程中，我们主要研究了数学物理领域里以下两类的重要问题：(1)一类定义在Moyal空间的非交换量子场论模型(称为GW模型)的构造重整化理论。(2)一类定义在六边形格点上的Hubbard模型的数学严格定义性及其相变理论。具体的研究内容包括以下几个方面：（一）GW模型的算子代数基础，即一类局域凸的、渐进有限的Frechet代数的圈顶角表示。（二）在矩阵基及圈顶角表示下，模型Schwinger函数的微扰重整化问题。（三）在矩阵基下，模型Schwinger函数的非微扰重整化理论。（四）Schwinger函数的微扰级数的Borel可加性问题。(五)上述Hubbard模型中Schwinger函数的解析性问题。（六）单粒子不可约函数的解析性与系统参量（温度）的关系。其中第一到第四点是构造GW模型的关键内容，我们用圈顶角展开理论及非交换集团展开理论严格证明一类GW模型的Schwinger函数具有解析性，并确定了相应的解析邻域。第五、六两部分内容是证明上述量子多体问题模型存在相变的关键。我们用重整化群及费米集团展开理论严格证明，当模型化学势为1且温度为指数小时，系统存在费米液体-Luttinger液体相变。以上成果对于我们理解非交换量子场论的一般数学结构及一般随机矩阵理论模型的数学结构均具有重要意义；对于研究具有一般费米面的Hubbard模型的数学结构及探索一般金属-超导体相变的机理均有重要意义。