无网格方法中关键计算问题的算法、理论及其在计算力学中的应用

最近三十年，无网格方法已经广泛地应用到了计算力学与计算数学的各个领域，然而其计算量大、算法理论基础缺失的缺点严重地阻碍了该方法的进一步推广和发展，成为了无网格法研究者所面临的最为迫切的问题。本项目致力于研究这些问题中最为突出的三个方面，数值积分、施加本质边界条件和后验误差估计。对于前者，我们发展满足特定限制条件的数值积分公式，如零行和和格林公式型等；对于中者，我们考虑Nitsche方法以及数值积分对Nitsche方法的影响和更一般的边界条件，如Robin条件等；对于后者，我们考虑残差型和重构型的误差估计子以及数值积分误差出现时这些估计子的行为，特别地，我们将着重研究相关的超收敛现象。我们将建立上述算法的理论基础，这在无网格法领域是难得的。这些算法必将本质上提高无网格法的计算效率。然后，我们将重新评估和识别无网格法优于传统网格方法的工程力学问题，并应用改进后的无网格方法到这些问题当中去。

最近三十年，无网格方法和广义有限元法已经广泛地应用到了计算力学与计算数学的各个领域，然而其计算量大、稳定性差、算法理论基础缺失的缺点严重地阻碍了这些方法的进一步推广和发展，成为了无网格法和广义有限元法研究者所面临的最为迫切的问题。本项目研究了这些问题中最为突出的三个方面，无网格方法的数值积分和施加本质边界条件、广义有限元法的稳定性算法与分析。对于前者，我们发展了满足特定限制条件的数值积分公式，如零行和和格林公式型等；对于中者，我们考虑了Nitsche方法以及数值积分对Nitsche方法的影响和更一般的边界条件，如Robin条件等；对于后者，我们研究了稳定的广义有限元法格式，通过修改传统广义有限元法的富集函数，使得新方法在保持传统广义有限元法逼近性的同时，还将其刚度矩阵的条件数降到有有限元法同阶。我们还建立上述算法的理论基础，这在无网格法和广义有限元法领域是难得的。相关算法必将本质上提高这些新方法的计算效率与应用效率。然后，我们重新评估和识别了三类无网格法与广义有限元法优于传统网格方法的工程力学问题，即裂纹扩展问题、界面接触问题和角奇性问题等，并应用改进后的方法到这些问题当中去。本项目的研究特色在于把握了热点问题的主要困难，给出了算法、理论到应用的综合性解决方案。在本项目的支持下，负责人与无网格方法与广义有限元法的专家Uday Banerjee教授和Ivo Babuska教授建立了长期稳定的合作关系，为该项目后续研究工作的顺利开展奠定良好基础。此外，在本项目支持下负责人与相关合作者在高阶有限体积法、再生核空间理论和数值微分的快速多尺度算法等领域也做出了一些研究进展。负责人在本项目支持下发表和接收发表论文八篇，投稿一篇，写成论文初稿多篇，并积累了大量关于这些新型计算工具的程序库，为以后的软件开发和工程应用打下坚实基础。