稳定广义有限元法的研究与若干典型工程应用

Generalized finite element methods (GFEM) and extended finite element methods (XFEM), developed in last two decades, are novel technique of numerical simulation. Two methods can be unified under concept of partition of unity (PU), and differ in global or local enrichments only. We represent these two methods in terms of GFEM in this proposal. It is well-known that conventional finite element methods (FEM) suffer from mesh generation and can not simulate non-smooth features of real solution efficiently. GFEM enrich FEM on uniform mesh with functions characterizing the local feature of the real solutions to overcome these difficulties. In most situations, the enrichments and FEM PU functions have strong linear dependence, and cause bad conditioned and even singular stiffness matrices. This project is devoted to developing the stable GFEM, and the main idea consists in both retaining the same advantages as the conventional GFEM in uniform mesh and approximation properties and making their conditioning not worse than that of the standard FEM. We apply the stable GFEM in four classes of typical non-smooth problems: crack, interface, singular, and high-order problems. We also study difficulties of the stable GFEM in computation, such as numerical integration, essential boundary condition, blending element, and so on. Eventually, we will set up benchmark problems to evaluate performance of the stable GFEM and FEM, and identify the types of the engineering problems where the stable GFEM excel FEM.

广义有限元法（GFEM）和拓展有限元法（XFEM）是最近二十多年新兴的数值模拟技术。两者可以用单元分解（PU）的概念统一起来，只是在整体或局部富集上有差别，文中统一用GFEM来代替二者。GFEM对规则网格上的有限元富集（附加）一些可以表征真解局部特征的基函数，来克服传统有限元网格划分的困难和不能有效模拟非光滑特征的缺点。多数情况下，富集函数与有限元PU函数具有较强的线性相关性，导致GFEM刚度矩阵的条件数很高、甚至是奇异的。本项目致力于稳定GFEM的研究，主要想法是保持传统GFEM网格与逼近性优势的同时，将其刚度矩阵条件数控制到与有限元同阶。我们将稳定GFEM应用到四类典型非光滑性问题，裂纹、界面、奇性和高阶问题。我们还研究数值积分、本质边界条件、blending元等GFEM执行过程中的难题。最后，我们将评价稳定GFEM与有限元等方法的优缺点，识别稳定GFEM优于有限元的工程问题类别。

本项目研究稳定广义有限元法理论基础及其在典型工程问题中的应用。广义有限元利用固定规则网格有限元耦合表征真解局部特征的富集数解决困难的工程问题，比如断裂、界面、角奇性问题等。本项目执行几年内，对广义有限元的基础理论和工程应用都做出重要进展。在基础理论方面，我们研究了稳定性和鲁棒性，该问题由广义有限元的富集函数与有限元函数的线性相关性引起，是该领域难点之一。我们采取将富集函数减掉其插值和局部正交化等稳定化技术，使新方法既保持常规广义有限元的最佳收敛阶，还使刚度矩阵条件数与有限元法同阶，该项工作是广义有限元领域的重要进展之一。..我们将稳定广义有限元应用于断裂问题，断裂问题具有间断和奇性双重非光滑特征，通过裂尖奇解的渐进展开提取主奇性函数作为富集函数，成功获得了稳定且最佳收敛的广义有限元，进一步将奇性富集节点凝聚，极大地减少方法的自由度。这一系列相关工作，对断裂问题高精度数值模拟起到重要促进作用。我们还将稳定广义有限元应用于带奇性界面问题和抛物界面问题，同时处理界面处梯度间断和角点处的奇性，据我们了解，同时处理梯度间断和角奇性的研究很少。在角奇性方面，我们研究了四边形渐进网格以及角奇性问题的有限体积法，极大扩充了角奇性问题的处理方案。此外，我们发展了任意界数值微分的多尺度快速正则化算法，将矩阵非零元个数压缩到线性复杂度。..总体来讲，本项目的实施从基础理论到工程应用都达到了预期目标，对本领域的一些难点问题做出重要进展。在本项目支持下，本人正式发表科研论文5篇，投稿在审1篇，已完成预投稿1篇，其中第一或通讯作者论文4篇，Thomson Reuters JCR一区论文4篇，支持项目相关工程应用领域论文2篇，撰写中的论文初稿4篇。项目执行期内，本人晋升为教授和博导，招收博士生2名、硕士生4名、博士后1名，陆续获得广东省自然科学杰青和国家自然基金重大研究计划项目集成项目（子课题）的资助。