自由仿拓扑群的若干拓扑性质研究

Topological groups and paratopological groups are two main research topics in the field of topological algebra. It is more challenging and generally meanful to investigate paratopological groups without the continuity of inverse mappings. This project takes free paratopological groups introduced in 2002 as a research topic. Applying the theory of paratopological groups, algebraic properties of free groups, and, in particular, the theory of quasi-uniform spaces in innovation to find a breakthrough, we shall investigate the embeddings of compact subsets of free paratopological groups, the properties of some subspaces of free paratopological groups on compact spaces and some generalized metrizability of free paratopological groups, which will make us solve a few open problems on free paratopological groups.

拓扑群与仿拓扑群是拓扑代数领域的热门研究方向，仿拓扑群由于不附加逆运算的连续性使其研究更具挑战性和一般性意义.本项目以2002年引入的一类重要仿拓扑群即自由仿拓扑群作为研究课题，运用仿拓扑群理论、自由群的代数性质，尤其是为寻求问题的突破口，势必方法创新，借助空间的拟一致结构理论，研究自由仿拓扑群的紧子集嵌入、紧空间上的自由仿拓扑群子空间性质以及自由仿拓扑群的一些广义度量性质，解决关于自由仿拓扑群理论的几个公开问题.

A.Arhangel'skii和M.Tkachenko的拓扑代数专著《Topological Groups and Related Structures》在2008年的出版把一般拓扑学工作者对拓扑代数的研究推向了一个新的高峰，使之成为了现今一个非常活跃的领域。本项目研究拓扑代数及广义度量空间理论领域，获得了较丰富的结果。主要结果如下。. （1）研究了具有omega的omega次方基的自由仿拓扑群的内在刻画，证明了一个拓扑空间上的自由Abel仿拓扑群具有omega的omega次方基的充要条件是这个拓扑空间的最细拟一致结构具有omega的omega次方基；一个可数拓扑空间上的自由仿拓扑群具有omega的omega次方基的充要条件是这个拓扑空间的最细拟一致结构具有omega的omega次方基。文章首次利用序理论分析了自由仿拓扑群拓扑结构与代数结构的深层次关系，揭示了其内在刻画等，发展壮大了自由仿拓扑群理论，扩大了国内拓扑代数在国际上的影响力。. （2）研究了一般仿拓扑群的紧性，强可度量化的半拓扑群的乘积的子群等。证明了弱omega-admissable仿拓扑群中的每个C紧集是强r伪紧子空间。. （3）探讨了广义仿拓扑群的拓扑性质，对广义仿拓扑群的广义拓扑同构进行研究，获得了一个新的广义拓扑同构定理。. （4）研究了模糊度量空间中的模糊Meir-Keeler压缩映射，这推广了两类特殊映射，获得了一些Meir-Keeler不动点定理，改进了一些相关结果。. （5）研究了b-rectangular度量空间的Sehgal-Guseman-Type不动点，肯定地回答了一个公开问题。