镜对称及双有理代数几何背景下的高维 Calabi-Yau 簇

Three dimensional Calabi-Yau varieties are fundamental objects for mirror symmetry. Besides, higher-dimensional Calabi-Yau varieties are the relatively missing part in the classifications of higher-dimensional algebraic varieties...This proposal aims to research on derived equivalence of Calabi-Yau varieties in mirror symmetry, and the relations between Hochschild homology and string cohomology. Meanwhile, we will investigate on the boundedness problem of fibered Calabi-Yau threefolds as well as birational properties of Calabi-Yau varieties under small deformations...These investigations will promote mirror symmetry and birational geometry simultaneously, and let them interact with each other.

三维 Calabi-Yau 簇是镜对称理论的重要研究对象. 此外,高维 Calabi-Yau 簇是高维代数簇分类中相对缺失的部分... 本项目将研究 Calabi-Yau 簇在镜对称中的导出范畴等价关系，以及 Hochschild 同调与弦论上同调的关系. 同时，我们将研究有纤维结构的三维 Calabi-Yau 簇的有界性，以及 Calabi-Yau 簇在小形变意义下的双有理性质等... 通过对这一系列问题的深入研究，有望促进镜对称理论与双有理代数几何两方面的发展，并使它们之间交叉作用，互相影响.

本项目涉及镜对称以及双有理代数几何。镜对称以一类特殊的代数簇 Calabi-Yau 簇为背景。获得的结果有：1. 构造了一类非交换的 Calabi-Yau 双镜，此类双镜囊括了文献中的许多离散的例子。2. 证明了申请书中提出的一般的非交换 Clifford 双镜之间的导出等价问题。3. 证明了对于 log canonical threshold polytope 也满足升链条件。4. 研究并推广了 Fujita 关于 pseudo-effective threshold 满足升链条件的猜想。5. 证明了一个版本的 Fujita 关于 pseudo-effective threshold 多重聚点上届的猜想。6. 研究了弱 Zariski 分解与极小模型存在性之间的关系，部分回答了 Birkar-Hu 的一个猜想。