带切换的Levy型过程理论及其应用

本项目将研究带切换的Levy型过程，这类过程是切换扩散过程和Levy型过程的推广,具有广泛的应用背景，其无穷小生成元中含有微分、积分和差分求和类算子，且这些算子之间相互影响，研究难度大，具有挑战性，是国际前沿研究课题。我们将利用鞅方法研究这类过程的存在唯一性；通过寻找合适的试验函数,应用Foster-Lyapunov方法给出这类过程指数遍历的显式条件；通过估计耦合时间的矩和过程击中小集时间的矩等方法，给出这类过程强遍历的显式条件；通过建立过程的对称性和泛函不等式，估计第一特征值等方法给出这类过程遍历收敛速度的估计；通过研究过程在第一次切换时刻的概率行为以及稳定类过程和带跳扩散过程的分析性质，研究有关这类过程的Harnack不等式等分析性质。此外，关于切换扩散过程，我们将建立环流量的表达式，研究过程可逆性、熵产生率与环流的关系，从而为理解生物物理中分子马达现象的实质提供严格的数学理论结果。

本项目研究了带切换的Levy型过程理论及其在生物物理学和数理金融中应用。带切换的Levy型过程是一类很广泛的模型，带切换的跳扩散过程和带切换的扩散过程都可以看作其某种条件下特殊模型。在某些合理的条件下，我们建立了带依状态切换的跳扩散过程的存在唯一性。应用Foster-Lyapunov方法和耦合方法，我们研究了这类过程的指数稳定性，几乎处处稳定性，Feller性，强Feller性，指数遍历性和强遍历性。在某些合理的条件下，我们建立了这类过程的保序耦合，进一步给出了这类过程的指数收敛速度估计。应用估计双线性型的主特征值方法，我们给出了当切换过程在无穷可数状态空间时的稳定性的判别准则。同时，我们在生物物理学方面，建立了钙离子通道IPR的非平衡变构模型，研究了生物系统的一种被称为超调的动力学行为，也研究了细菌表型多样性、表型切换与对冲策略的发生机制。此外，在数理金融方面，我们研究了欧式期权最小对冲价格的逼近，得出一类折扣屏障期权可以给出逼近过程。通过以各多方面研究工作，使我们对带切换的Levy型过程在理论和应用两方面都有了更深刻的认识。在项目执行期间，我们项目组研究人员在《Stochastic Processes and their Applications》，《SIAM Journal on Control and Optimization》，《Journal of Mathematical Analysis and Applications》，《Science China Mathematics》，《Physical Biology》等国内外重要学术期刊上发表了SCI学术论文20篇。